【題目】綜合與實(shí)踐
一、問(wèn)題情境
在綜合與實(shí)踐課上,老師組織同學(xué)們以“直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).如圖1,矩形ABCD中,AD=2AB,連接AC,將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到某一位置,觀察圖形,提出問(wèn)題并加以解決.
二、實(shí)踐操作,解決問(wèn)題
(1)如圖2,慎思組的間學(xué)將圖1中的△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到△A'B'C',此時(shí)B'C'過(guò)點(diǎn)D,則∠ADB′=____度.
(2)博學(xué)組的同學(xué)在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3,此時(shí)點(diǎn)C落在CD的延長(zhǎng)線上,連接BB',該組提出下面兩個(gè)問(wèn)題,并請(qǐng)你解決該組提出的這兩個(gè)問(wèn)題.
①C'D和AB有何數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
②BB'和AC'有何位置關(guān)系?并說(shuō)明理由.
(3)精英組的同學(xué)在圖3的基礎(chǔ)上按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至AB'與對(duì)角線AC重合時(shí),B'C'與AD交于點(diǎn)M,如圖4,則S:S△ABC=_____.
【答案】(1)30;(2)①C′D=AB;②AC′∥BB′;(3)3:4.
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AB=AB′、∠B′=∠B=90°,結(jié)合AD=BC=2AB可得AD=2AB′,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得答案;
(2)①利用“HL”證Rt△ADC′≌Rt△ABC即可得;②過(guò)點(diǎn)C′作C′H垂直于BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,證△C′HA≌△C′B′A得∠HAC′=∠C′AB,由AB=AB′知∠ABB′=∠AB′B,據(jù)此根據(jù)∠HAB′=∠ABB′+∠AB′B可得2∠C′AB′=2∠AB′B,即可得證;
(3)設(shè)AB=a,則BC=2a,求出MC′:B′C′的值即可解決問(wèn)題.
解:(1)由題意知△ABC≌△AB′C′,
∴AB=AB′、∠B′=∠B=90°,
∵AD=BC=2AB,
∴在Rt△AB′D中,AD=2AB′,
則∠ADB′=30°,
故答案為:30;
(2)①C′D=AB,理由如下:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC、∠ABC=∠ADC=∠ADC′=90°,
由旋轉(zhuǎn)知AC′=AC,
在Rt△ADC′和Rt△ABC中,
∵ ,
∴Rt△ADC′≌Rt△ABC(HL),
∴C′D=AB;
②結(jié)論:AC′∥BB′;
理由:如圖a,過(guò)點(diǎn)C′作C′H垂直于BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,
則四邊形HADC′是矩形,
∴C′H=AD、AH=C′D=AB,
在△C′HA和△C′B′A中,
∴△C′HA≌△C′B′A(SSS),
∴∠HAC′=∠C′AB,
又∵AB=AB′,
∴∠ABB′=∠AB′B,
在△ABB′中,∠HAB′=∠ABB′+∠AB′B,即∠HAC′+∠C′AB′=∠ABB′+∠AB′B,
∴2∠C′AB′=2∠AB′B,
∴∠C′AB′=∠AB′B,
∴AC′∥BB′;
(3)如圖4中,設(shè)AB=a,則BC=2a,
∵AD∥BC,
∴∠MAB′=∠ACB,
∵∠AB′M=∠B=90°,
∴△AB′M∽△CBA,
∴B′M:AB=AB′:BC,
∴B′M:a=a:2a,
∴BM′=
∵B′C′=2a,
∴MC′=
∴MC′:B′C′=3:4,
∴S△AC′M:S△ABC=3:4,
故答案為:3:4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列對(duì)二次函數(shù)的圖象的描述,正確的是( 。
A. 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)
B. 對(duì)稱軸是y軸
C. 開(kāi)口向下
D. 在對(duì)稱右側(cè)部分是向下的
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了科學(xué)建設(shè)“學(xué)生健康成長(zhǎng)工程”.隨機(jī)抽取了部分學(xué)生家庭對(duì)其家長(zhǎng)進(jìn)行了主題為“周末孩子在家您關(guān)心嗎?”的問(wèn)卷調(diào)查,將回收的問(wèn)卷進(jìn)行分析整理,得到了如下的樣本統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖:
代號(hào) | 情況分類 | 家庭數(shù) |
帶孩子玩并且關(guān)心其作業(yè)完成情況 | 16 | |
只關(guān)心其作業(yè)完成情況 | b | |
只帶孩子玩 | 8 | |
既不帶孩子玩也不關(guān)心其作業(yè)完成情況 | d |
(1)求的值;
(2)該校學(xué)生家庭總數(shù)為500,學(xué)校決定按比例在類家庭中抽取家長(zhǎng)組成培訓(xùn)班,其比例為類取20%,類各取60%,請(qǐng)你估計(jì)該培訓(xùn)班的家庭數(shù);
(3)若在類家庭中只有一個(gè)城鎮(zhèn)家庭,其余是農(nóng)村家庭,請(qǐng)用列舉法求出在類中隨機(jī)抽出2個(gè)家庭進(jìn)行深度采訪,其中有一個(gè)是城鎮(zhèn)家庭的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,半徑OC垂直于弦AB,垂足為點(diǎn)D,點(diǎn)E在OC的延長(zhǎng)線上,∠EAC=∠BAC
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)若AB=8,cosE=,求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有以下六個(gè)命題,①同旁內(nèi)角互補(bǔ);②若x2=4,則x=2;③;④平分弦的直徑垂直于弦;⑤等弧所對(duì)的圓心角相等;⑥相等的圓心角所對(duì)的弧相等.從這六個(gè)命題中隨機(jī)任意抽取一個(gè)命題是真命題的概率為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AB=4,點(diǎn)F,C是⊙O上兩點(diǎn),連接AC,AF,OC,弦AC平分∠FAB,∠BOC=60°,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,垂足為點(diǎn)D.
(1)求扇形OBC的面積(結(jié)果保留π);
(2)求證:CD是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸交于點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
求k的值和拋物線的解析式;
為x軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn).
若以O,B,N,P為頂點(diǎn)的四邊形OBNP是平行四邊形時(shí),求m的值.
當(dāng) 時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】折紙飛機(jī)是我們兒時(shí)快樂(lè)的回憶,現(xiàn)有一張長(zhǎng)為290mm,寬為200mm的白紙,如圖所示,以下面幾個(gè)步驟折出紙飛機(jī):(說(shuō)明:第一步:白紙沿著EF折疊,AB邊的對(duì)應(yīng)邊A′B′與邊CD平行,將它們的距離記為x;第二步:將EM,MF分別沿著MH,MG折疊,使EM與MF重合,從而獲得邊HG與A′B′的距離也為x),則PD=______mm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)學(xué)活動(dòng)中,小明發(fā)現(xiàn)將兩塊不同的等腰直角三角板進(jìn)行旋轉(zhuǎn),能得到一組結(jié)論:在其中一塊三角板Rt△ABC,AB=BC=4,∠B為直角,將另一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)O處,將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交AB、BC或其延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn),如圖①與②是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況.
(1)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),△OFC是否能成為等腰直角三角形?若能,求出CF;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),線段OE和OF之間有什么數(shù)量關(guān)系?用圖②加以證明;
(3)若將三角板的直角原點(diǎn)放在斜邊上的點(diǎn)P處(如圖③),當(dāng),PF和PE有怎樣的數(shù)量關(guān)系,證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
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