Question

已知AB∥CD，點E、F分別在AB、CD上，線段EF可左右平移．

（1）如圖1，當點E與點A重合時，求證：∠AFD=∠FAC+∠ACF；
（2）將線段EF向左平移，當點E在A左側，點F在點C右側時（如圖2），作EP平分∠AEF，CP平分∠ACD，兩條角平分線交于點P．若∠AEF=m°，∠ACD=n°．求∠EPC的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示）
（3）將線段EF向右平移，當點E在點A右側，點F在點C右側，∠AEF和∠ACD的平分線交于點Q時（如圖3），直接寫出∠EAC、∠EFC與∠EQC的數(shù)量關系式．

Answer 1

考點：平行線的性質,列代數(shù)式,平移的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，可得答案；
（2）根據(jù)角平分線的性質，可得∠AEP、∠PCF的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質，可得∠EPG、∠CPG的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案；
（3）根據(jù)角平分線的性質，可得∠ACF、∠AEF，根據(jù)角平分線的性質，可得∠QCF、∠AEQ，根據(jù)平行線的性質，可得∠CQG、∠EQG，根據(jù)角的和差，可得答案．

解答：（1）證明：如圖1，
，
∵∠AFD是△AFC的外角，
∴∠AFD=∠FAC+∠ACF（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）；
（2）解：如圖2，
，
作GP∥AB∥CD，
由EP平分∠AEF，CP平分∠ACD，兩條角平分線交于點P，
得∠AEP=

1

2

∠AEF=

1

2

m°，∠PCF=

1

2

∠ACF=

1

2

n°．
由GP∥AB∥CD，得
∠EPG=∠AEP=

1

2

m°，∠CPG=∠PCF=

1

2

n°．
由角的和差，得
∠EPC=∠EPG+∠CPG=

1

2

（m+n）°；
（3）解：如圖3，

作GQ∥AB∥CD，
由AB∥CD，得∠ACF=180°-∠EAC，∠AEF=180°-∠EFC．
由角平分線的性質，得
∠QCF=

1

2

∠ACF=90°-

1

2

∠EAC，∠AEQ=

1

2

∠AEF=90°-

1

2

∠EFC．
由GQ∥AB∥CD，得
∠CQG=∠QCF=90°-

1

2

∠EAC，∠EQG=180°-∠AEQ=90°+

1

2

∠EFC．
由角的和差，得
∠EQC=∠CQG+∠EQG=90°-

1

2

∠EAC+90°+

1

2

∠EFC
即∠EQC+

1

2

∠EAC-

1

2

∠EFC=180°．

點評：本題考查了平行線的性質，（1）利用了三角形的外角的性質；（2）利用了角平分線的性質，平行線的性質；（3）利用了平行線的性質，角平分線的性質，平行線的性質．