Question

如圖，正方形ABCD中，AB=10，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊AB和BC的中點(diǎn)，連接AF和DE相交于點(diǎn)G，GH⊥AD于點(diǎn)H，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A、△GDC為等邊三角形
• B、∠ADE=∠FCG
• C、sin∠DCG=

  4

  5

• D、CG=FG+EG

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD，再求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠AGE=90°，從而得到AF⊥DE，取AD的中點(diǎn)M，連接CM交DE于N，同理可得CM⊥DE，然后求出CM垂直平分DG，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得CG=CD，再根據(jù)垂線段最短可得DG＜AD，從而判斷出△GDC不是等邊三角形；利用勾股定理列式求出AF、DE，再利用三角形的面積列式AG，然后求出GF，從而得到FG≠FC，再求出∠ADE≠∠FCG；利用∠GAH的余弦求出AH，再求出HD，過點(diǎn)G作DK⊥CD于K，可得GK=HD，然后利用銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解；分別求出FG、EG，然后計(jì)算即可判斷出CG≠FG+EG．

解答：解：如圖，正方形ABCD中，AB=BC=AD=10，
∵點(diǎn)E、F分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，
∴AE=BF=5，
在△ABF和△DAE中，

AB=AD ∠DAE=∠B=90° AE=BF

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AF=DE，∠BAF=∠ADE，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED+∠BAF=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中點(diǎn)M，連接CM交DE于N，
同理可得CM⊥DE，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴AF∥CM，
∴CM垂直平分DG，
∴CG=CD，
又DG＜AD，
∴CD=CG≠DG，
∴△GDC為等邊三角形錯(cuò)誤，故A選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；

由勾股定理得，AF=DE=

102+52

=5

5

，
∴S_△ADE=

1

2

×5

5

AG=

1

2

×10×5，
解得AG=2

5

，
∴FG=5

5

-2

5

=3

5

，
∴FG≠FC，
∴∠FGC≠∠FCG，
∵∠FGC=∠GCN=∠DCN=∠ADE，
∴∠ADE≠∠FCG，故B選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；

∵AH=AGcos∠DAG=AGcos∠AED=2

5

×

5

5 5

=2，
∴HD=AD-AH=10-2=8，
過點(diǎn)G作DK⊥CD于K，可得GK=HD，
∴sin∠DCG=

GK

CG

=

8

10

=

4

5

，故C選項(xiàng)結(jié)論正確；

∵FG=3

5

，
EG=AG•tan∠BAF=2

5

×

5

10

=

5

，
∴FG+EG=3

5

+

5

=4

5

，
∵CG=10，
∴CG≠FG+EG，故D選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．