Question

如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設(shè)△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S₁、S₂、S₃，現(xiàn)有如下結(jié)論：
①S₁：S₂=AC²：BC²；
②連接AE，BD，則△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，則S₁•S₂=

3

4

S₃²．
其中結(jié)論正確的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：①根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方判斷；
②根據(jù)SAS即可求得全等；
③根據(jù)面積公式即可判斷．

解答：①S₁：S₂=AC²：BC²正確，
解：∵△ADC與△BCE是等邊三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S₁：S₂=AC²：BC²．

②△BCD≌△ECA正確，
證明：∵△ADC與△BCE是等邊三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE與△DCB中，

AE=BD ∠ACE=∠DCB CE=BC

，
∴△BCD≌△ECA（SAS）．

③若AC⊥BC，則S₁•S₂=

3

4

S₃²正確，
解：設(shè)等邊三角形ADC的邊長(zhǎng)=a，等邊三角形BCE邊長(zhǎng)=b，則△ADC的高=

3

2

a，△BCE的高=

3

2

b，
∴S₁=

1

2

a•

3

2

a=

3

4

a²，S₂=

1

2

b•

3

2

b=

3

4

b²，
∴S₁•S₂=

3

4

a²•

3

4

b²=

3

16

a²b²，
∵S₃=

1

2

ab，
∴S₃²=

1

4

a²b²，
∴S₁•S₂=

3

4

S₃²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．