如圖,凸四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,數(shù)學(xué)公式=數(shù)學(xué)公式=90°,AB+CD為一偶數(shù).
求證:四邊形ABCD面積為一完全平方數(shù).

解:∵=,∴AB∥DC,ABCD為梯形.
過(guò)O作MN⊥AB于M交CD于N,易知MN⊥CD于N,由垂徑定理知M為AB中點(diǎn),N為CD中點(diǎn),連接OA,OD.
∵∠AOD=90°,
∴∠AOM=90°-∠DON=∠ODN,
從而有


=
=
∵AB+CD為偶數(shù),
∴SABCD必是完全平方數(shù).
分析:根據(jù)垂徑定理及其推論,結(jié)合梯形的面積公式,可以用AB+CD的式子表示它的面積,從而進(jìn)一步分析.
點(diǎn)評(píng):此題要特別注意輔助線的作法,構(gòu)造了一對(duì)全等三角形,發(fā)現(xiàn)梯形的高和上下底的關(guān)系.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且△ABC,△ACD,△ABD的面積分別為S1=5,S2=10,S3=6.求△ABO的面積(如圖).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在凸四邊形ABCD中,AB的長(zhǎng)為2,P是邊AB的中點(diǎn),若∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°,則四邊形ABCD的面積的最小值是(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖①,在凸四邊形中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.
(1)如圖②,若連接AC,則△ADC的形狀是
等邊
等邊
三角形.你是根據(jù)哪個(gè)判定定理?
答:
一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形
一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形
.(請(qǐng)寫出定理的具體內(nèi)容)
(2)如圖③,若在四邊形ABCD的外部以BC為一邊作等邊△BCE,并連接AE,請(qǐng)問(wèn):BD與AE相等嗎?若相等,請(qǐng)加以證明;若不相等,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在第(2)題的前提下,請(qǐng)你說(shuō)明BD2=AB2+BC2成立的理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知矩形OABC的邊OC的長(zhǎng)為方程x2-x-6=0的一根,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,其中精英家教網(wǎng)A、C兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上.將△ABC沿AC翻折,點(diǎn)B落到B′處,B′C交x軸于點(diǎn)D,且sin∠OCD=
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(1)求B′的坐標(biāo);
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,連接PQ,設(shè)以P、Q、D、C為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

如圖,凸四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、和DA的長(zhǎng)分別是3,4,12,和13,∠ABC=90°,則四邊形
ABCD的面積S=________.

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