【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原點O,頂點為C.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式.
(2)設點D在拋物線上,點E在拋物線的對稱軸上,若四邊形AODE是平行四邊形,求點D的坐標.
(3)聯(lián)接BC交x軸于點F.y軸上是否存在點P,使得△POC與△BOF相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) y=x2+2x;(2) (1,3);(3) (0,﹣ )或(0,﹣4).
【解析】試題分析:(1)將點A、點B和原點代入解析式進行求解;(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出點D的坐標;(3)首先求出OB、OF、OC的長度,然后根據(jù)三角形相似的條件求出點P的坐標,分兩種情況進行討論.
試題解析:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
將點A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0),代入可得:,解得:,
所以函數(shù)解析式為:y=x2+2x;
(2)∵AO為平行四邊形的一邊, ∴DE∥AO,DE=AO, ∵A(﹣2,0),
∴DE=AO=2, ∵四邊形AODE是平行四邊形, ∴D在對稱軸直線x=﹣1右側(cè),
∴D橫坐標為:﹣1+2=1,代入拋物線解析式得y=3, ∴D的坐標為(1,3);
(3)在y軸上存在點P,使得△POC與△BOF相似,理由如下:
由y=x2+2x,頂點C的坐標為(﹣1,1) ∵tan∠BOF=,
∴∠BOF=45°, 當點P在y軸的負半軸時,tan∠COP=,
∴∠COP=45°,∴∠BOF=∠COP, 設BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
∵圖象經(jīng)過B(﹣3,3),C(﹣1,1)
∴, 解得∴,
∴y=﹣2x﹣3; 令y=0,則x=﹣1.5.
∴F(﹣1.5,0),
∴OB=3,OF=1.5,OC=,
①當△POC∽△FOB時, 則,
即, ∴OP=, ∴P(0,﹣)
②當△POC∽△BOF時, ∴,
∴OP=4, ∴P(0,﹣4),
∴當△POC與△BOF相似時,點P的坐標為(0,﹣)或(0,﹣4).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC中,∠C=60°,點D,E分別是邊AC,BC上的點,點P是直線AB上一動點,連接PD,PE,設∠DPE=α.
(1)如圖①所示,如果點P在線段BA上,且α=30°,那么∠PEB+∠PDA=___;
(2)如圖②所示,如果點P在線段BA上運動,
①依據(jù)題意補全圖形;
②寫出∠PEB+∠PDA的大小(用含α的式子表示);并說明理由。
(3)如果點P在線段BA的延長線上運動,直接寫出∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關系(用含α的式子表示).那么∠PEB與∠PDA之間的數(shù)量關系是___.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn):
如圖,在矩形ABCD中,E是BC的中點,將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,點F在矩形ABCD內(nèi)部,延長AF交CD于點G.猜想線段GF與GC有何數(shù)量關系?并證明你的結(jié)論.
(2)類比探究:
如圖,將(1)中的矩形ABCD改為平行四邊形,其它條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,AD的垂線平分線交AB于點F,交BC的延長線于點E,連接AE,DF.
求證:(1)∠EAD=∠EDA;(2)DF//AC;(3)∠EAC=∠B.
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【題目】如圖已知BE平分∠ABC,E點在線段AD上,∠ABE=∠AEB,AD與BC平行嗎?為什么?
解:因為BE平分∠ABC(已知)
所以∠ABE=∠EBC ( )
因為∠ABE=∠AEB( )
所以∠ =∠ ( )
所以AD∥BC ( )
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的邊BC在x軸上,頂點A在y軸的正半軸上,OA=2,OB=1,OC=4.
(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)設點M是x軸上的動點,試問:在平面直角坐標系中,是否存在點N,使得以點A,B,M,N為頂點的四邊形是菱形?若存在,直接寫出點N的坐標;若不存在,說明理由;
(3)若拋物線對稱軸交x軸于點P,在平面直角坐標系中,是否存在點Q,使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形?若存在,寫出所有符合條件的點Q的坐標,選擇一種情況加以說明;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學舉行“漢字聽寫”比賽,每位學生聽寫漢字個,比賽結(jié)束后,隨機抽查部分學生的聽寫結(jié)果,以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖的一部分,根據(jù)信息解決下列問題:
組別 | 正確字數(shù) | 人數(shù) |
A | ||
B | ||
C | ||
D | ||
E |
(1)在統(tǒng)計表中, , ;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中“D組”所對應的圓心角的度數(shù)為 ;
(4)若該校共有名學生,如果聽寫正確的字數(shù)少于個定為不合格,請你估計這所中學這次比賽聽寫不合格的學生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD中,E是AD邊上的一個動點,點F,G,H分別是BC,BE,CE的中點.
(1)求證:△BGF≌△FHC;
(2)設AD=a,當四邊形EGFH是正方形時,求矩形ABCD的面積.
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