Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．

（1）求證：點D是AB的中點；
（2）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（3）若⊙O的直徑為18，cosB= ，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CD，

∵BC為⊙O的直徑，∴CD⊥AB，

又∵AC=BC，

∴AD=BD，即點D是AB的中點

（2）解：DE是⊙O的切線．

證明：連接OD，則DO是△ABC的中位線，

∴DO∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO即DE是⊙O的切線

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，

∴cosB=cosA= ，

∵cosB= ，BC=18，

∴BD=6，

∴AD=6，

∵cosA= ，

∴AE=2，

在Rt△AED中，DE= ．

【解析】（1）連接CD，利用圓周角定理得出CD⊥AB，又由等腰三角形的三線合一得出點D是AB的中點；（2）連接OD，則DO是△ABC的中位線，利用中位線定理得DO∥AC，又因DE⊥AC從而得出DE⊥DO，進而得出結論；（3）根據余弦的定義得出BD的長度，從而得出AD的長度，再根據等角的余弦相等得出AE的長度，最后用勾股定理得出答案。