Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2mx﹣m2+4．

（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）若該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C，

①求△ABC的面積；

②若點(diǎn)P為該二次函數(shù)圖象上位于A、C之間的一點(diǎn)，則△PAC面積的最大值為　 　，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①8；②1，（m﹣1，3）

【解析】

（1）根據(jù)b2﹣4ac＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2+4）＝16＞0，即可證明.

（2）①當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，解得x1＝m+2，x2＝m﹣2，即可求出AB＝4

，將一般式配方為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)為C的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)△ABC的面積；

②設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為（a，b），其中b＝﹣a2+2am﹣m2+4,表示出△PAC面積，整理得S△PAC＝﹣a2+2a（m﹣1）﹣m2+2m，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

（1）證明：當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，

∵b2﹣4ac＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2+4）＝16＞0，

∴此一元二次方程有兩個(gè)解，

∴該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）解：①當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2mx﹣m2+4＝0，

解得：x1＝m+2，x2＝m﹣2

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)

∴點(diǎn)A、B橫坐標(biāo)分別為m﹣2，m+2

∴AB＝4

配方得y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4

∴拋物線頂點(diǎn)為（m，4）

∴S△ABC＝×4×4＝8；

②設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為（a，b），其中b＝﹣a2+2am﹣m2+4

整理得S△PAC＝b+2m﹣2a﹣4

把b＝﹣a2+2am﹣m2+4代入上式

S△PAC＝﹣a2+2am﹣m2+4+2m﹣2a﹣4

整理得

S△PAC＝﹣a2+2a（m﹣1）﹣m2+2m

∵a＝﹣1＜0

∴當(dāng)a＝m﹣1時(shí)，△PAC面積最大值為1

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m﹣1，3）

故答案為：1，（m﹣1，3）