Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l，交直線BC于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)E．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，當(dāng)P位于y軸右邊的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)C作CF⊥直線l，F為垂足，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以P，C，F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在位于直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 連接PB，PC，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m， △PBC的面積為S，

①求出S與m的函數(shù)關(guān)系式；

②求出點(diǎn)P到直線BC的最大距離.

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+3x+4；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (2，6)或(4，0)；(3)①S=﹣2m2+8m；②點(diǎn)P到直線BC的最大距離為.

【解析】

（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（4，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求得b、c的值即可；
（2）先由函數(shù)解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到△OBC為等腰直角三角形，故此當(dāng)CF=PF時(shí)，以P，C，F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．設(shè)P（t，-t2+3t+4）（t＞0），則CF=t，構(gòu)建方程從而可求得t的值，于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接EC．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，﹣m2+3m+4)．則OE=m，PE=﹣m2+3m+4，EB=4﹣m．

然后依據(jù)S△PBC=S四邊形PCEB-S△CEB列出△PBC的面積與m的函數(shù)關(guān)系式，從而可求得三角形的最大面積，從而求得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求點(diǎn)P到直線BC的最大距離為.

(1)由題意得 ，解得

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4．

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (2，6)或(4，0)．

(3)如圖2所示：連接EC．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，﹣m2+3m+4)．則OE=m，PE=﹣m2+3m+4，EB=4﹣m．

∵C(0，4)，B(4，0)，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

∵S四邊形PCEB=OBPE=×4(﹣m2+3m+4)，S△CEB=EBOC=×4×(4﹣m)，

∴S△PBC=S四邊形PCEB﹣S△CEB=2(﹣m2+3m+4)﹣2(4﹣m)=﹣2m2+8m．

∵a=﹣2＜0，

∴當(dāng)a=2時(shí)，△PBC的面積S有最大值．

∴P(2，6)，△PBC的面積的最大值為8．

過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，由題意得C（0,4），D(4，0),OB=OC=4，

∴∠ABC=45°=∠EGB，∠PGH=∠EGB=45°，即△PGH是等腰直角三角形，

∵P(2，6),∴OE=2=EB=EG,PG=PE-GE=6-2=4，

∴PH=PG×sin45°=4×=.

即點(diǎn)P到直線BC的最大距離為.