已知:⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),⊙O1的切線AC交⊙O2于點(diǎn)C.直線EF過點(diǎn)B交⊙O1于點(diǎn)E,交⊙O2于點(diǎn)F.精英家教網(wǎng)
(1)若直線EF交弦AC于點(diǎn)K時(shí)(如圖1).求證:AE∥CF;
(2)若直線EF交弦AC的延長線于點(diǎn)時(shí)(如圖2).求證:DA•DF=DC•DE;
(3)若直線EF交弦AC的反向延長線于點(diǎn)(在圖3自作),試判斷(1)、(2)中的結(jié)論是否成立并證明你的正確判斷.
分析:(1)連接AB.根據(jù)弦切角定理和圓周角定理的推論,可以證明∠E=∠1=∠F,即可證明結(jié)論;
(2)根據(jù)弦切角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),證明平行線,再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解;
(3)正確畫出圖形后,顯然只需構(gòu)造弦切角所夾的弧所對的圓周角,再結(jié)合圓周角定理的推論,即可證明平行,再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì),即可證明.
解答:(1)證明:連接AB.
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∵AC是⊙O1的切線,
∴∠E=∠1,
又∵∠F=∠1.
∴∠E=∠F.
∴AE∥CF.

(2)證明:連接AB.
∵AC是⊙O1的切線,
∴∠E=∠1,
又∵A、B、F、C在⊙O2上,
∴∠2=∠1.
∴∠E=∠2,
又∠D=∠D,
∴△ADE∽△CDF.
DA
DC
=
DE
DF

∴DA•DF=DC•DE.

(3)解:(1)(2)中的結(jié)論都成立.
證明:如圖3.
∵∠C=∠B=∠DAE,
∴AE∥CF.
又∠D=∠D,
∴△ADE∽△CDF.
DA
DC
=
DE
DF
,
∴DA•DF=DC•DE.
點(diǎn)評:連接相交弦是相交兩圓中常見的輔助線.綜合運(yùn)用了弦切角定理、圓周角定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定.
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(1)設(shè)直線EF交線段AC于點(diǎn)D(如圖1).
①若ED=12,DB=25,BF=11,求DA和DC的長;
②求證:AD•DE=CD•DF;
(2)當(dāng)直線EF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)交線段AC的延長線于點(diǎn)D時(shí)(如圖2),試問AD•DE=CD•DF是否仍然成立?證明你的結(jié)論.
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