已知:⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A、B,AC切⊙O2于點(diǎn)A,交⊙O1于點(diǎn)C.直線(xiàn)EF過(guò)點(diǎn)B,交⊙O1于點(diǎn)E,交⊙O2于點(diǎn)F.
(1)設(shè)直線(xiàn)EF交線(xiàn)段AC于點(diǎn)D(如圖1).
①若ED=12,DB=25,BF=11,求DA和DC的長(zhǎng);
②求證:AD•DE=CD•DF;
(2)當(dāng)直線(xiàn)EF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)交線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D時(shí)(如圖2),試問(wèn)AD•DE=CD•DF是否仍然成立?證明你的結(jié)論.
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分析:(1)①有ED,BD,BF的長(zhǎng),根據(jù)切割線(xiàn)定理,可求出AD的長(zhǎng),然后根據(jù)相交弦定理可求出CD的長(zhǎng);②根據(jù)切割線(xiàn)定理得出的AD2=DB•BF以及相交弦定理得出的AD•CD=DE•BD,兩式子相除即可得出所求的結(jié)論.
(2)解法與(1)中的②完全相同.
解答:解:(1)①∵AC切⊙O2于A(yíng),
∴AD2=DB•DF=25×36.
∴AD=30.
又由AD•CD=DE•BD得CD=10,
∴AD=30,CD=10.
②由AD2=DB•DF和AD•CD=DE•BD,
相除可得
AD
CD
=
DF
DE
,故AD•DE=CD•DF.

(2)成立,
證明:∵AD切⊙O2于A(yíng),
∴AD2=DB•DF…①
又由DA•CD=DE•DB …②
①÷②得:
AD
CD
=
DF
DE
,因此AD•DE=CD•DF.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用以及切割線(xiàn)定理和相交弦定理.
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11、如圖,已知:⊙O1與⊙O2是等圓,它們相交于A(yíng)、B兩點(diǎn),O2在⊙O1上,AC是⊙O2的直徑,直線(xiàn)CB交⊙O1于D,E為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),連接DE.
(1)請(qǐng)你連接AD,證明:AD是⊙O1的直徑;
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(1)若直線(xiàn)EF交弦AC于點(diǎn)K時(shí)(如圖1).求證:AE∥CF;
(2)若直線(xiàn)EF交弦AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)時(shí)(如圖2).求證:DA•DF=DC•DE;
(3)若直線(xiàn)EF交弦AC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)(在圖3自作),試判斷(1)、(2)中的結(jié)論是否成立并證明你的正確判斷.

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4
4
cm.

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