Question

【題目】拋物線y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）如圖1，當(dāng)t=0時(shí)，連接AC、BC，求△ABC的面積；

（2）如圖2，在（1）的條件下，若點(diǎn)P為在第四象限的拋物線上的一點(diǎn)，且∠PCB+∠CAB=135°，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖3，當(dāng)﹣1＜t＜3時(shí)，若Q是拋物線上A、C之間的一點(diǎn)（不與A、C重合），直線QA、QB分別交y軸于D、E兩點(diǎn)．在Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）6．（2）（，﹣）．（3）t=．

【解析】

（1）代入t=0可得出拋物線的解析式，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；
（2）由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)可得出∠ABC=45°，利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠ACB+∠CAB=135°，結(jié)合∠PCB+∠CAB=135°可得出∠ACB=∠PCB，過(guò)B作BM∥y軸，交CP延長(zhǎng)線于M，由平行線的性質(zhì)可得出∠ABC=∠MBC，結(jié)合BC=BC即可證出△ABC≌△MBC（ASA），利用全等三角形的性質(zhì)可得出AB=MB=4，進(jìn)而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C，M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線CM的解析式，再聯(lián)立直線CM及拋物線的解析式成方程組，通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及因式分解法解一元二次方程，可求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)直線AQ的解析式為：y=k1x+b1，直線BQ的解析式為：y=k1x+b2，則CD=（t2-2t-3）-b1，CE=b2-（t2-2t-3），將直線解析式代入拋物線解析式中可得出關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出xAxQ=t2-2t-3-b1①，xBxQ=t2-2t-3-b2②，利用②÷①結(jié)合CE=2CD，即可得出關(guān)于t的方程，解之即可得出結(jié)論．

解：（1）將t=0代入拋物線解析式得：y=x2﹣2x﹣3．

當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）；

當(dāng)y=0時(shí)，有x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

∴S△ABC= ABOC=×[3﹣（﹣1）]×3=6．

（2）由（1）知：B（3，0），C（0，﹣3），

∴OB=OC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACB+∠CAB=135°．

又∵∠PCB+∠CAB=135°，

∴∠ACB=∠PCB．

在圖2中，過(guò)B作BM∥y軸，交CP延長(zhǎng)線于M．

∴∠ABC=∠MBC．

在△ABC和△MBC中，，

∴△ABC≌△MBC（ASA），

∴AB=MB=4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，﹣4），

∴直線CM解析式為：y=﹣x﹣3（利用待定系數(shù)法可求出該解析式）．

聯(lián)立直線CM及拋物線的解析式成方程組，得：，

解得：（舍去），，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．

（3）當(dāng)y=0時(shí)，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=0，即[x+（ t﹣3）][x+（ t+1）]=0，

解得：x1=﹣t+3，x2=﹣t﹣1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣t﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣t+3，0）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=t2﹣2t﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，t2﹣2t﹣3）．

設(shè)直線AQ的解析式為：y=k1x+b1，直線BQ的解析式為：y=k1x+b2．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，b1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，b2），

∴CD=（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE=b2﹣（t2﹣2t﹣3）．

∵y=k1x+b1，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，

∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1=0，

∴xAxQ=t2﹣2t﹣3﹣b1①．

同理：xBxQ=t2﹣2t﹣3﹣b2②．

由②÷①，得： ==﹣，

∴=﹣=2，

∴=﹣2，

∴t= ．