Question

【題目】如圖1，已知矩形AOCB，AB＝6cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)O為止；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng)．

(1)當(dāng)出發(fā)　 　時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm；

(2)逆向發(fā)散：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為　 　cm；當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為　 　cm；

(3)探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，1cm長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，連接AC，與PQ相交于點(diǎn)D，若雙曲線y＝過(guò)點(diǎn)D，問(wèn)k的值是否會(huì)變化？若會(huì)變化，說(shuō)明理由；若不會(huì)變化，請(qǐng)求出k的值．

Answer 1

【答案】（1）s或s；（2）6，2；（3）不會(huì)變化，k＝．

【解析】

（1）作PH⊥BC，根據(jù)勾股定理求出QH，分點(diǎn)H在BQ之間、點(diǎn)H在CQ之間兩種情況計(jì)算；

（2）根據(jù)題意分別求出QH的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案；

（3）作DE⊥AO于點(diǎn)E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，證明△AED∽△AOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得到k的值．

解：（1）作PH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形APHB為矩形，

∴PH＝AB＝6，BH＝AP＝3t，

當(dāng)PQ＝10時(shí)，由勾股定理得，QH＝，

當(dāng)點(diǎn)H在BQ之間時(shí)，QH＝BC﹣BH﹣CQ＝16﹣5t，

則16﹣5t＝8，

解得，t＝，

當(dāng)點(diǎn)H在CQ之間時(shí)，QH＝CQ﹣（BC﹣BH）＝5t﹣16，

則5t﹣18＝8，

解得，t＝，

則當(dāng)t＝s或s時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm，

故答案為：s或s；

（2）當(dāng)t＝2s時(shí)，QH＝16﹣5t＝6，

則PQ＝＝，

當(dāng)當(dāng)t＝4s時(shí)，QH＝5t﹣16＝4，

則PQ＝，

故答案為：；；

（3）k的值不會(huì)變化，

理由如下：作DE⊥AO于點(diǎn)E，

∵OA∥BC，

∴△ADP∽△CDQ，

∴，

∵DE⊥AO，∠AOC＝90°，

∴DE∥OC，

∴△AED∽△AOC，

∴，即，

解得，AE＝，DE＝，

∴OE＝AO﹣AE＝，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），

則k＝×＝．