【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點A,頂點D的坐標分別為A(﹣1,0),D(1,m).

(1)當OB=OC時,直接寫出拋物線的解析式;

(2)直線CD必經(jīng)過某一定點,請你分析理由并求出該定點坐標;

(3)點P為直線CD上一點,當以點P,A,B為頂點的三角形是等腰直角三角形時,求m的值.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)直線CD必經(jīng)過定點(﹣3,0);(3)以點P,A,B為頂點的三角形是等腰直角三角形時,m的值為2或或8.

【解析】

(1)由點A,頂點D的坐標分別為A(﹣1,0),D(1,m),可得B點坐標,又OB=OC,可得拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;

(2)由拋物線頂點D的坐標分別為(1,m),可得b=2a,由A(﹣1,0)在拋物線上,可得c=3a,可得直線CD的解析式為y=﹣ax﹣3a=﹣a(x+3),可得答案;

(3)分 ∠PAB=90°、∠PBA=90°、∠APB=90°三種情況討論可得m的值.

(1)點A,頂點D的坐標分別為A(﹣1,0),D(1,m),

∴B(3,0),

∴OB=3,

∵OB=OC,

∴C(0,3),

設拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),∴a×1×(﹣3)=3,

∴a=﹣1,

拋物線解析式為y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3;

(2)∵拋物線頂點D的坐標分別為(1,m),

∴﹣=1,

∴b=﹣2a,

拋物線的解析式為y=ax2﹣2ax+c,

A(﹣1,0)在拋物線上,

∴a+2a+c=0,

∴c=﹣3a,

拋物線的解析式為y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,

∴m=﹣4a,

∴D(1,﹣4a),C(0,﹣3a),

直線CD的解析式為y=﹣ax﹣3a=﹣a(x+3),

令x+3=0,

即:x=﹣3時,y=0,

直線CD必經(jīng)過定點(﹣3,0);

(3)A(﹣1,0),B(3,0),

∴AB=4,

PAB=90°時,PA=AB,

∵P(﹣1,﹣2a),

∴PA=﹣2a,

∴﹣2a=4,

∴a=﹣2,

∴m=﹣4a=8

PBA=90°時,PB=AB,

∵P(3,﹣6a),∴PB=﹣6a,

∴﹣6a=4,

∴a=﹣,

∴m=﹣4a=,

APB=90°時,PA=PB,

∵P(1,﹣4a),

∴m=﹣4a=AB=2,

即:以點P,A,B為頂點的三角形是等腰直角三角形時,m的值為2或或8.

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