Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O 上，點P是直徑AB上的一點，（不與A，B重合），過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q．
（1）點D在線段PQ上，且DQ=DC．求證：CD是⊙O的切線；
（2）若sin∠Q=

3

5

，BP=6，AP=2，求QC的長．

Answer 1

考點：切線的判定,解直角三角形

專題：

分析：（1）如圖，連結(jié)OC．欲證明CD是⊙O的切線，只需證得CD⊥OC即可；
（2）如圖，作OH⊥BC，H為垂足．通過解Rt△BQP和在Rt△BHO中，可以求得BQ=10、BH=

12

5

．然后由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BC=2BH=2×

12

5

=

24

5

，則CQ=BQ-BC=

26

5

．

解答：解：（1）如圖，連結(jié)OC．
∵DQ=DC，
∴∠Q=∠QCD．
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB．
∵QP⊥BP，
∴∠QPB=90° 即∠B+∠Q=90°，
∴∠QCD+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切線；

（2）如圖，作OH⊥BC，H為垂足．
∵BP=6，AP=2，
∴AB=8，OB=

1

2

AB=4．
在Rt△BQP中，sinQ=

BP

BQ

=

6

BQ

=

3

5

，
∴BQ=10，cos∠B=sin∠Q=

3

5

在Rt△BHO中，cos∠B=

BH

BO

=

BH

4

=

3

5

，
∴BH=

12

5

．
∵OH⊥BC，
∴BC=2BH=2×

12

5

=

24

5

，
∴CQ=BQ-BC=

26

5

．
（法二：連結(jié)AC，證△ABC∽△QBP，得

BC

BP

=

AB

BQ

，

BC

6

=

8

10

，BC=

24

5

∴CQ=BQ-BC=

26

5

）．

點評：本題考查了切線的判定和解直角三角形的應(yīng)用，切線的判定定理是：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查圓周角定理的推論以及解直角三角形．