Question

如圖1，⊙O在直角坐標(biāo)系中是一個以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓，AB是過圓心O的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿圓O做勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作PC垂直于半徑AB，PC的長度隨著點(diǎn)P的運(yùn)動而變化．（各組數(shù)據(jù)已標(biāo)出）
（1）當(dāng)P點(diǎn)的位置如圖所示時，求∠OPC和∠POC的度數(shù)．
（2）當(dāng)P點(diǎn)的位置如圖所示時，求PC的值．
（3）探究：PC的長度隨著∠BOP的變化而變化，設(shè)PC的值為y，∠BOP為x，
并規(guī)定：①PC在x軸上方記為正，在x軸下方記為負(fù)；②逆時針旋轉(zhuǎn)得到的角度記為正，順時針旋轉(zhuǎn)得到的角度記為負(fù)；③π=180°，

1

2

π=900．請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，以及x的取值范圍．（直接寫出答案）
（4）在圖2試畫出第（3）題中函數(shù)的圖象．
（5）求出該函數(shù)圖象的對稱軸．（直接寫出答案，答案請用含有π的式子表示）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,勾股定理,軸對稱圖形,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）利用三角函數(shù)就可解決問題．
（2）運(yùn)用勾股定理即可解決問題．
（3）根據(jù)條件中的規(guī)定就可得到y(tǒng)=4sinx，其中x為任意實(shí)數(shù)．
（4）可用描點(diǎn)法畫出（3）中函數(shù)的圖象．
（5）由圖可知：該圖象的對稱軸有無數(shù)個，這些對稱軸方程分別為…，x=-

3π

2

，x=-

π

2

，x=

π

2

，x=

3π

2

，…，從而可歸納出該圖象的對稱軸方程．

解答：解：（1）如圖1，則有OP=4，OC=2，∠PCO=90°．
∴sin∠OPC=

OC

OP

=

2

4

=

1

2

．
∴∠OPC=30°．
∴∠POC=60°．
（2）如圖1，
∵OP=4，OC=2，∠PCO=90°，
∴PC=

OP2-OC2

=2

3

．
∴PC的值為2

3

．
（3）由題可知：y=OP•sin∠BOP=4sinx，其中x為任意實(shí)數(shù)．
（4）列表

描點(diǎn)，連線，如圖2．

（5）由圖2可知：該函數(shù)圖象的對稱軸有無數(shù)個，
這些對稱軸方程為…，x=-

3π

2

，x=-

π

2

，x=

π

2

，x=

3π

2

，…
其中x=-

3π

2

=-2π+

π

2

，
x=-

π

2

=-π+

π

2

，
x=

π

2

=0•π+

π

2

，
x=

3π

2

=π+

π

2

…
歸納：該函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=kπ+

π

2

（k為整數(shù)）．

點(diǎn)評：本題與高中知識相接軌，考查了三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、軸對稱圖形等知識，還考查了閱讀、操作、歸納、探究等能力，是一道好題．