Question

已知直線AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到AG，作B點(diǎn)關(guān)于直線AG的對(duì)稱點(diǎn)I，交直線AG于點(diǎn)F，連結(jié)DI交直線AG于點(diǎn)H
（1）如圖1，當(dāng)α=30°時(shí)，連BD，則∠BDI=

 

．
（2）如圖2，連CH，求證：CH⊥AG；
（3）如圖3，當(dāng)α=60°，若AB=

2

，則CH=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，作輔助線，證明AI=AB，∠IAB=2∠FAB=60°；證明∠AID=∠ADI=15°，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2，作輔助線，證明∠AIH=∠ADH=∠ABH，得到A、H、B、D四點(diǎn)共圓；由∠BCD=∠BAD=90°，得到A、H、B、C、D在以BD為直徑的圓上，問(wèn)題即可解決．
（3）如圖3，由勾股定理求得AC=2；由直角三角形的邊角關(guān)系得到：CH=AC•sin75°=2×

2 + 6

4

=

2 + 6

2

．

解答：解：（1）如圖，連接AI；由題意知：

AI=AB，∠IAB=2∠FAB=60°；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，AD=AI，
∴∠AID=∠ADI=

180°-90°-60°

2

=15°，
∴∠BDI=90°-15°=75°．

（2）如圖2，連接AC、AI、BH．

∵B、I關(guān)于直線AG對(duì)稱，
∴AG垂直平分BI，
∴AI=AB，HI=HB，
∴∠ABI=∠AIB，∠HBI=∠HIB，
∠AIH=∠ABH；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°；
∴AI=AB=AD，
∴∠AIH=∠ADH=∠ABH；
∴A、H、B、D四點(diǎn)共圓；而∠BCD=∠BAD=90°，
∴A、H、B、C、D在以BD為直徑的圓上，
∴∠AHC=∠ABC=90°，
∴CH⊥AG．

（3）如圖3，連接AC；

由題意知：AB=BC=

2

，∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC2=(

2

)2+(

2

)2，
∴AC=2；由（2）知CH⊥AH；
∵∠GAC=60°+45°=105°，
∴∠HAC=180°-105°=75°；
∵sin∠HAC=

CH

AC

，
∴CH=AC•sin75°=2×

2 + 6

4

=

2 + 6

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題以正方形為載體，以旋轉(zhuǎn)變換為方法，以正方形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、直角三角形的邊角關(guān)系等重要幾何知識(shí)點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．