Question

【題目】已知拋物線C1：y＝(x－1)2＋1與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A與點(diǎn)(1，3)的直線與C1交于點(diǎn)B

(1) 求直線AB的函數(shù)表達(dá)式

(2) 如圖1，若點(diǎn)P為直線AB下方的C1上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值

(3) 如圖2，將直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后恰好經(jīng)過C1的頂點(diǎn)C，沿射線AC的方向平移拋物線C1得到拋物線C2，C2的頂點(diǎn)為D，兩拋物線相交于點(diǎn)E．設(shè)交點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m．若∠AED＝90°，求m的值

Answer 1

【答案】(1) y＝x＋2(2)(3)m=1+

【解析】(1) y＝x＋2

(2) 設(shè)P(a，a2－2a＋2)

過點(diǎn)P作PQ∥y交軸交AB于Q

∴Q(a，a＋2)

∴PQ＝(a＋2)－(a2－2a＋2)＝－a2＋3a＝

當(dāng)時(shí)，PQ有最大值為

過點(diǎn)P作PM⊥AB于M

∵直線AB與豎直方向的夾角為45°

∴△PQM為等腰直角三角形

∴PM＝

即P到AB的距離的最大值為

方法2：P在平行于AB且于拋物線相切的切點(diǎn)處

(3) 直線AD的解析式為y＝－x＋2

設(shè)D(n，－n＋2)

∴C2：y＝(x－n)2－n＋2

∵E(m，m2－2m＋2)同時(shí)也在C2上

∴(m－n)2－n＋2＝m2－2m＋2

整理得：(2m－n)(n－1)＝0，n＝2m或n＝1（舍去）

∴D(2m，－2m＋2)

接下來使用K字型

過點(diǎn)E作MN∥x軸交y軸于M，過點(diǎn)D作DN⊥MN于N

∴△DNE∽△EMA

∴DN·AM＝ME·EN

即[(m2－2m＋2)－(－2m＋2)]·[(m2－2m＋2)－2]＝m2，m2－2m－1＝0

解得

∵m＞0

∴