Question

【題目】如圖，∠ACL＝90°，AC＝4，動點B在射線CL，CH⊥AB于點H，以H為圓心，HB為半徑作圓交射線BA于點D，交直線CD于點F，交直線BC于點E．設BC＝m．

（1）當∠A＝30°時，求∠CDB的度數；

（2）當m＝2時，求BE的長度；

（3）在點B的整個運動過程中，

①當BC＝3CE時，求出所有符合條件的m的值．

②連接EH，FH，當tan∠FHE＝時，直接寫出△FHD與△EFH面積比．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）；（3）①m＝2或4；②

【解析】

（1）根據題意由HB＝HD，CH⊥BD可知：CH是BD的中垂線，再由∠A＝30°得：∠CDB＝∠ABC＝60°；

（2）由題意可知當m＝2時，由勾股定理可得：AB＝2，cos∠ABC＝，過點H作HK⊥BC于點K，利用垂徑定理可得結論；

（3））①要分兩種情況：I．當點E在C右側時，II．當點E在C左側時；根據相似三角形性質和勾股定理即可求得結論；

②根據題意先證明EF∥BD，根據平行線間距離相等可得：△FHD與△EFH高相等，面積比等于底之比，再由tan∠FHE＝可求得的值即可．

解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝60°，

∵HB＝HD，CH⊥BD，

∴CH是BD的中垂線，

∴CB＝CD，

∴∠CDB＝∠ABC＝60°；

（2）如圖1，過點H作HK⊥BC于點K，

當m＝2時，BC＝2，

∴AB＝＝2，

∴cos∠ABC＝＝，

∴BH＝BCcos∠ABC＝，

∴BK＝BHcos∠ABC＝，

∴BE＝2BK＝；

（3）①分兩種情況：

I．當點E在C右側時，如圖2，連結DE，由BD是直徑，得DE⊥BC，

∵BC＝3CE＝m，

∴CE＝m，BE＝m，

∵DE∥AC，

∴△DEB～△ACB，

∴＝＝，

∴DE＝AC＝，

∵CD＝CB＝m，

∴Rt△CDE中，由勾股定理得：＝m2，

∵m＞0，

∴m＝2；

II．當點E在C左側時，如圖3，連結DE，由BD是直徑，得DE⊥BC，

∵BC＝3CE，

∴CE＝m，BE＝m，

∵DE∥AC，

∴△DEB～△ACB，

∴＝＝，

∴DE＝AC＝6，

∵CD＝CB＝m，

∴Rt△CDE中，由勾股定理得：62+＝m2，

∵m＞0，

∴m＝4；

綜上所述，①當BC＝3CE時，m＝2或4．

②如圖4，過F作FG⊥HE于點G，

∵CH⊥AB，HB＝HD，

∴CB＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴，即，

∴，

∴EF∥BD，

∴＝，

∵在Rt△FHG中，＝tan∠FHE＝，

設FG＝5k，HG＝12k，則FH＝＝＝13k，

∴DH＝HE＝FH＝13k，EG＝HE﹣HG＝13k﹣12k＝k，

∴EF＝＝＝k，

∴＝＝．