【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,⊙O(圓心O在△ABC內部)經(jīng)過B、C兩點,交AB于點E,過點E作⊙O的切線交AC于點F.延長CO交AB于點G,作ED∥AC交CG于點D

(1)求證:四邊形CDEF是平行四邊形;
(2)若BC=3,tan∠DEF=2,求BG的值.

【答案】
(1)

解:連接CE,

∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,

∴∠B=45°,

∵EF是⊙O的切線,

∴∠FEC=∠B=45°,∠FEO=90°,

∴∠CEO=45°,

∵DE∥CF,

∴∠ECD=∠FEC=45°,

∴∠EOC=90°,

∴EF∥OD,

∴四邊形CDEF是平行四邊形;


(2)

解:過G作GN⊥BC于M,

∴△GMB是等腰直角三角形,

∴MB=GM,

∵四邊形CDEF是平行四邊形,

∴∠FCD=∠FED,

∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°,

∴∠CGM=∠ACD,

∴∠CGM=∠DEF,

∵tan∠DEF=2,

∴tan∠CGM= =2,

∴CM=2GM,

∴CM+BM=2GM+GM=3,

∴GM=1,

∴BG= GM=


【解析】(1)連接CE,根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠B=45°,根據(jù)切線的性質得到∠FEC=∠B=45°,∠FEO=90°,根據(jù)平行線的性質得到∠ECD=∠FEC=45°,得到∠EOC=90°,求得EF∥OD,于是得到結論;(2)過G作GN⊥BC于N,得到△GMB是等腰直角三角形,得到MB=GM,根據(jù)平行四邊形的性質得到∠FCD=∠FED,根據(jù)余角的性質得到∠CGM=∠ACD,等量代換得到∠CGM=∠DEF,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到CM=2GM,于是得到結論.
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質和切線的性質定理,掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積;切線的性質:1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑即可以解答此題.

練習冊系列答案
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(2)若區(qū)域Ⅰ滿足AB:BC=2:3,區(qū)域Ⅱ四周寬度相等
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②若甲、丙兩瓷磚單價之和為300元/m2 , 乙、丙瓷磚單價之比為5:3,且區(qū)域Ⅰ的三種瓷磚總價為4800元,求丙瓷磚單價的取值范圍.

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