【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0),拋物線的對稱軸x=1與拋物線交于點(diǎn)D,與直線BC交于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個動點(diǎn),是否存在點(diǎn)F使四邊形ABFC的面積為17,若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點(diǎn)P,與拋物線相交于點(diǎn)Q,若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點(diǎn)C(0,4),

∴c=4 ①.

∵對稱軸x=﹣ =1,

∴b=﹣2a ②.

∵拋物線過點(diǎn)A(﹣2,0),

∴0=4a﹣2b+c ③,

由①②③解得,a=﹣ ,b=1,c=4,

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+4


(2)解:方法一:假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)F,如圖所示,連結(jié)BF、CF、OF,過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H,F(xiàn)G⊥y軸于點(diǎn)G.

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,﹣ t2+t+4),其中0<t<4,

則FH=﹣ t2+t+4,F(xiàn)G=t,

∴SOBF= OBFH= ×4×(﹣ t2+t+4)=﹣t2+2t+8,

SOFC= OCFG= ×4×t=2t,

∴S四邊形ABFC=SAOC+SOBF+SOFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12.

令﹣t2+4t+12=17,

即t2﹣4t+5=0,

則△=(﹣4)2﹣4×5=﹣4<0,

∴方程t2﹣4t+5=0無解,

故不存在滿足條件的點(diǎn)F

方法二:

∵B(4,0),C(0,4),

∴l(xiāng)BC:y=﹣x+4,

過F點(diǎn)作x軸垂線,交BC于H,設(shè)F(t,﹣ t2+t+4),

∴H(t,﹣t+4),

∵S四邊形ABFC=SABC+SBCF=17,

(4+2)×4+ (﹣ t2+t+4+t﹣4)×4=17,

∴t2﹣4t+5=0,

∴△=(﹣4)2﹣4×5<0,

∴方程t2﹣4t+5=0無解,故不存在滿足條件的點(diǎn)F


(3)解:方法一:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n(k≠0),

∵B(4,0),C(0,4),

,

解得

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4.

由y=﹣ x2+x+4=﹣ (x﹣1)2+ ,

∴頂點(diǎn)D(1, ),

又點(diǎn)E在直線BC上,則點(diǎn)E(1,3),

于是DE= ﹣3=

若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,因?yàn)镈E∥PQ,只須DE=PQ,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(m,﹣m+4),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(m,﹣ m2+m+4).

① 當(dāng)0<m<4時,PQ=(﹣ m2+m+4)﹣(﹣m+4)=﹣ m2+2m,

由﹣ m2+2m= ,

解得:m=1或3.

當(dāng)m=1時,線段PQ與DE重合,m=1舍去,

∴m=3,P1(3,1).

②當(dāng)m<0或m>4時,PQ=(﹣m+4)﹣(﹣ m2+m+4)= m2﹣2m,

m2﹣2m= ,

解得m=2± ,經(jīng)檢驗(yàn)適合題意,

此時P2(2+ ,2﹣ ),P3(2﹣ ,2+ ).

綜上所述,滿足題意的點(diǎn)P有三個,分別是P1(3,1),P2(2+ ,2﹣ ),P3(2﹣ ,2+

方法二:

∵DE∥PQ,

∴當(dāng)DE=PQ時,以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

∵y=﹣ x2+x+4,

∴D(1, ),

∵lBC:y=﹣x+4,

∴E(1,3),

∴DE= ﹣3= ,

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是(m,﹣m+4),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(m,﹣ m2+m+4),

∴|﹣m+4+ m2﹣m﹣4|=

m2﹣2m= m2﹣2m=﹣ ,

∴m=1,m=3,m=2+ ,m=2﹣ ,

經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m=1時,線段PQ與DE重合,故舍去.

∴P1(3,1),P2(2+ ,2﹣ ),P3(2﹣ ,2+ ).


【解析】方法一:(1)先把C(0,4)代入y=ax2+bx+c,得出c=4①,再由拋物線的對稱軸x=﹣ =1,得到b=﹣2a②,拋物線過點(diǎn)A(﹣2,0),得到0=4a﹣2b+c③,然后由①②③可解得,a=﹣ ,b=1,c=4,即可求出拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+4;(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)F,連結(jié)BF、CF、OF,過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H,F(xiàn)G⊥y軸于點(diǎn)G.設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,﹣ t2+t+4),則FH=﹣ t2+t+4,F(xiàn)G=t,先根據(jù)三角形的面積公式求出SOBF= OBFH=﹣t2+2t+8,SOFC= OCFG=2t,再由S四邊形ABFC=SAOC+SOBF+SOFC , 得到S四邊形ABFC=﹣t2+4t+12.令﹣t2+4t+12=17,即t2﹣4t+5=0,由△=(﹣4)2﹣4×5=﹣4<0,得出方程t2﹣4t+5=0無解,即不存在滿足條件的點(diǎn)F;(3)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣x+4,再求出拋物線y=﹣ x2+x+4的頂點(diǎn)D(1, ),由點(diǎn)E在直線BC上,得到點(diǎn)E(1,3),于是DE= ﹣3= .若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,因?yàn)镈E∥PQ,只須DE=PQ,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(m,﹣m+4),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(m,﹣ m2+m+4).分兩種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)0<m<4時,PQ=(﹣ m2+m+4)﹣(﹣m+4)=﹣ m2+2m,解方程﹣ m2+2m= ,求出m的值,得到P1(3,1);②當(dāng)m<0或m>4時,PQ=(﹣m+4)﹣(﹣ m2+m+4)= m2﹣2m,解方程 m2﹣2m= ,求出m的值,得到P2(2+ ,2﹣ ),P3(2﹣ ,2+ ).方法二:(1)略.(2)利用水平底與鉛垂高乘積的一半,可求出△BCF的面積函數(shù),進(jìn)而求出點(diǎn)F坐標(biāo),因?yàn),所以無解.(3)因?yàn)镻Q∥DE,所以只需PQ=AC即可,求出PQ的參數(shù)長度便可列式求解.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法),還要掌握平行四邊形的判定(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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