Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于點(diǎn)D，且BD＝8cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)直線PQ由點(diǎn)B出發(fā)，沿BA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點(diǎn)P、交BC于點(diǎn)Q、交BD于點(diǎn)F．連接PM，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 (0＜t＜5)．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形？

(2)設(shè)四邊形PQCM的面積為ycm²，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使S_{四邊形PQCM}＝S_△ABC？若存在,求出t的值；若不存在，說明理由；

(4)連接PC，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，四邊形PQCM是平行四邊形；    （3分）

（2）過P作PE⊥AC，交AC于E，   ∵ PQ∥AC，  ∴△PBQ∽△ABC，  

∴△PBQ是等腰三角形，  ∴PQ=PB=t，

∴ ∴BF＝，∴FD＝8－，又∵M(jìn)C=AC-AN=10-2t，

∴    （3分）

（3）∵S_△ABC=,∴當(dāng)y＝S_△ABC時(shí)，，

即，解得（舍去）  （3分）

（4）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC，過M作MH⊥AB，交AB于H，則△AHM∽△ADB，

∵

在Rt△HMP中，，

又∵,

由解得：（舍去），

∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在線段PC的垂直平分線上.