Question

已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱(chēng)這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．
（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；
（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)CD=；
∵當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，
∴設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
∴3a=CD=．
∴a=，
∴正方形邊長(zhǎng)為 ，
∴一次函數(shù)y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長(zhǎng)為 或 ；

（2）如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸，
∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB，
∴△ADE≌△BAO≌△CBF．
∵m＜2，
∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2-m，2），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：，
∵D（2，m），C（2-m，2）
∴，
∴由②得：k=2m③，
∴把k=2m代入①得：2m=2（2-m），
∴解得m=1，k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=．
分析：此題較為新穎，特別要注意審題和分析題意，耐心把題讀完，知A、B為坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)，C、D為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)．
（1）先正確地畫(huà)出圖形，再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)從而計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)，注意思維的嚴(yán)密性；
（2）因?yàn)锳BCD為正方形，所以可作垂線(xiàn)得到全等三角形，利用點(diǎn)D（2，m）的坐標(biāo)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)從而求解．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道新定義題，題比較復(fù)雜，主要考查對(duì)反比例函數(shù)和一次函數(shù)問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵在于先要正確理解伴侶正方形的意義，特別要注意的是正方形的頂點(diǎn)所處的位置，因?yàn)樯婕暗较嚓P(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以過(guò)某一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)是必不可少的，再利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的知識(shí)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．