12、已知:在⊙O中,AB是直徑,AC是弦,OE⊥AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作直線FC,使∠FCA=∠AOE,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)求證:FD是⊙O的切線;
(2)設(shè)OC與BE相交于點(diǎn)G,若OG=3,求⊙O半徑的長(zhǎng).
分析:(1)連接OC.欲證明FD是⊙O的切線,只需證明∠FCO=90°;
(2)連接CB.根據(jù)等腰三角形AOC和等腰三角形OBC的兩腰相等、底邊上的中線與垂線重合的性質(zhì)推知AE=EC,OE∥CB;然后由線段截平行線成比例知AO:AB=OE:CB=1:2,由平行線的性質(zhì)可以證明∠COE=∠OCB,∠CBE=∠BEO,由相似三角形的判定定理AA可以判定△EGO∽△BGC,相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,所以有OG:GC=OE:BC=1:2,從而求得半徑OC=9.
解答:解:(1)證明:連接OC.∵OA=OC
∴∠A=∠ACO(3分)
∵OE⊥AC∠FCA=∠AOE
∴∠A+∠AOE=∠ACO+∠FCA=90°(5分)
∴∠FCO=90°
∴FD是⊙O的切線(7分)

(2)連接CB.
∵AO=OB,OE⊥AC
∴AE=EC,OE∥CB(3分)
AO:AB=OE:CB=1:2,∠COE=∠OCB,∠CBE=∠BEO,
∴△EGO∽△BGC(5分)
OG:GC=OE:BC=1:2
∴CG=6
半徑OC=9(7分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì).圓心到一條直線的距離等于該圓的半徑,則該直線就是一條切線.
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已知:在△ABC中,AB=4,BC=5,CA=6.
(1)如果DE=10,那么當(dāng)EF=
 
,F(xiàn)D=
 
時(shí),△DEF∽△ABC;
(2)如果DE=10,那么當(dāng)EF=
 
,F(xiàn)D=
 
時(shí),△FDE∽△ABC.

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(2012•香坊區(qū)一模)已知:在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是BC上一點(diǎn),PC=2PB,連接AP,作∠APD=∠B交AB于點(diǎn)D.連接CD,交AP于點(diǎn)E.
(1)如圖1,當(dāng)∠BAC=90°時(shí),則線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系為
AD=
5
4
BD
AD=
5
4
BD
;
(2)如圖2,當(dāng)∠BAC=60°時(shí),求證:AD=
7
2
BD;
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)C作∠DCQ=60°交PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q如圖3,連接DQ,延長(zhǎng)CA交DQ于點(diǎn)K,若CQ=
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2
.求線段AK的長(zhǎng).

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已知:在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15° 求:S△ABC

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已知:在△ABC中,AB=3,AC=7,BC長(zhǎng)是正整數(shù),當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最大時(shí),此時(shí)BC的長(zhǎng)為
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9

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