Question

如圖ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓交于另一點(diǎn)P，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)N，則

BN

NC

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì),圓周角定理

專題：計(jì)算題

分析：設(shè)點(diǎn)S為BC的中點(diǎn)，連接，DP，DS，DS與PC交于點(diǎn)W，作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，從而可證△DCS≌△DPS，也推∠DPS=∠DCB=90°，然后求出PC，再根據(jù)勾股定理求出PB，利用三角形的面積，求得PE，利用勾股定理求得PF，利用相似求得BN的長(zhǎng)，即可解答出．

解答：解：如圖，設(shè)點(diǎn)S為BC的中點(diǎn)，連接DP，DS，DS與PC交于點(diǎn)W，作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F，
∴DP=CD=a，PS=CS=

1

2

a，即DS是PC的中垂線，
∴△DCS≌△DPS，
∴∠DPS=∠DCB=90°，
∴DS=

DC2+CS2

=

a2+ 1 4 a2

=

5

2

a，
由三角形的面積公式可得PC=

2 5

5

a，
∵BC為直徑，
∴∠CPB=90°，
∴PB=

BC2-PC2

=

5

5

a，
∴PE=FB=

PC•PB

BC

=

2

5

a，
∴PF=BE=

PB2-PE2

=

1

5

a，
∴AF=AB-FB=

3

5

a，
∴

AF

AB

=

PF

BN

，即

3 5 a

a

=

1 5 a

BN

，
∴BN=

1

3

a，
∴NC=

2

3

a，
∴

BN

NC

=

1

2

；
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定，作好輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．