Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB的中點，連接CD．
（1）如圖1，AB與BC的數(shù)量關系是

 

．  
（2）如圖2，若P是線段CB上一動點（點P不與點B、C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請猜想CB、BF、BP三者之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．
（3）若點P是線段CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，請在圖3中補全圖形，并直接寫出CB、BF、BP三者之間的數(shù)量關系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可解決問題．
（2）如圖2，首先證明∠CDP=∠BDF，然后運用SAS公理證明△CDP≌△BDF，得到CP=BF，即可解決問題．
（3）如圖3，類比（2）中的方法，同理可證△CDP≌△BDF，即可解決問題．

解答： 解：（1）如圖1，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
故答案為：AB=2BC．
（2）如圖2，∵點D是AB的中點，
∴AB=2BD，而AB=2BC，
∴BD=BC；而∠ABC=90°-∠A=60°，
∴△BDC為等邊三角形，
∴∠CDB=60°，而∠PDF=60°，
∴∠CDP=∠BDF；在△CDP與△BDF中，

CD=DB ∠CDP=∠BDF DP=DF

，
∴△CDP≌△BDF（SAS），
∴CP=BF，
∴CB=BF+PB．
（3）如圖，CB、BF、BP三者之間的數(shù)量關系是：BF=CB+BP．

點評：該題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是深入觀察圖形，準確找出圖形中隱含的數(shù)量關系，正確運用直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．