Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CD丄AB交半圓O于點D，將△ACD沿AD折疊得到△AED，AE交半圓于點F，連接DF．

(1)求證：DE是半圓的切線：

(2)迮接OD，當OC＝BC時，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)可得到∠OAD＝∠ODA，由圖形翻折變換的性質(zhì)可得到∠CDA＝∠EDA，再根據(jù)CD⊥AB即可得出結(jié)論； 　　(2)連接OF，由垂徑定理可得到OC＝BC＝OB＝OD，由平行線的判定定理可得出OD∥AF，進而可得出△FAO是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可判斷出四邊形ODFA是平行四邊形，由OA＝OD即可得出結(jié)論． 　　解答：證明：(1)如圖，連接OD，則OA＝OD， 　　∴∠OAD＝∠ODA， 　　∵△AED由△ACD對折得到， 　　∴∠CDA＝∠EDA， 　　又∵CD⊥AB， 　　∴∠CAD＋∠CDA＝∠ODA＋∠EDA＝90°，D點在半圓O上， 　　∴DE是半圓的切線； 　　(2)四邊形ODFA是菱形， 　　如圖，連接OF， 　　∵CD⊥OB， 　　∴OC＝BC＝OB＝OD， 　　在Rt△OCD中，∠ODC＝30°， 　　∴∠DOC＝60°， 　　∵∠DOC＝∠OAD＋∠ODA， 　　∴∠OAD＝∠ODA＝∠FAD＝30°， 　　∴OD∥AF，∠FAO＝60°， 　　又∵OF＝OA， 　　∴△FAO是等邊三角形， 　　∴OA＝AF， 　　∴OD＝AF， 　　∴四邊形ODFA是平行四邊形， 　　∵OA＝OD， 　　∴四邊形ODFA是菱形． 　　點評：本題考查的是切線的判定、菱形的判定定理、圓周角定理、垂徑定理及圖形翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵．

提示：

考點：切線的判定；菱形的判定；圓周角定理；翻折變換(折疊問題)．