Question

已知：如圖∠ACB=90°，AC=BC．OG垂直平分BC，AG交CB的延長線于D，CN⊥AD于N，交AB于M，GM交BC的延長線于點F．求證：CF=BD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：設(shè)OG、AB相交于E點，連結(jié)CE并延長交AD于H，如圖，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠2=45°，再利用OG垂直平分BC得到EB=EC，OB=OC，則∠3=∠2=45°，所以∠ACH=45°，接著利用等角的余角相等得到∠CAN=∠BCM，于是可利用“ASA”證明△ACH≌△CBM，得到CH=BM，所以EH=EM，然后再證明△GEH≌△GEM，得到∠EGH=∠EGM，即OG平分∠DGF，根據(jù)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OD=OF，則利用OB=OC，即可得到CF=BD．

解答：證明：設(shè)OG、AB相交于E點，連結(jié)CE并延長交AD于H，如圖，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠2=45°，
∵OG垂直平分BC，
∴EB=EC，OB=OC，
∴∠3=∠2=45°，
∴∠ACH=45°，
∵CN⊥AD，
∴∠1+∠CAN=45°，
而∠1+∠BCM=90°，
∴∠CAN=∠BCM，
在△ACH和△CBM中，

∠ACH=∠2 AC=CB ∠CAH=∠BCM

，
∴△ACH≌△CBM（ASA），
∴CH=BM，
∴EH=EM，
∵∠BEO=∠CEO=45°，
∴∠GEH=∠GEM=45°，
在△GEH和△GEM中，

GE=GE ∠GEH=∠GEM EH=EM

，
∴△GEH≌△GEM（SAS），
∴∠EGH=∠EGM，
即OG平分∠DGF，
而GO⊥DF，
∴OD=OF，
而OB=OC，
∴CF=BD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．