【題目】等邊△ABC與正方形DEFG如圖1放置,其中D,E兩點分別在AB,BC上,且BDBE

1)求∠DEB的度數(shù);

2)當(dāng)正方形DEFG沿著射線BC方向以每秒1個單位長度的速度平移時,CF的長度y隨著運(yùn)動時間變化的函數(shù)圖象如圖2所示,且當(dāng)t=時,y有最小值1

求等邊△ABC的邊長;

連結(jié)CD,在平移的過程中,求當(dāng)△CEF與△CDE同時為等腰三角形時t的值;

從平移運(yùn)動開始,到GF恰落在AC邊上時,請直接寫出△CEF外接圓圓心的運(yùn)動路徑的長度.

【答案】1)∠BED60°;(22+2;t222+2

【解析】

1)證明△BDE是等邊三角形即可解決問題.

2如圖2中,正方形DEFG平移過程中,FF′∥BC,易證四邊形EFFE′是平行四邊形,由題意,當(dāng)CF′⊥BC時,CF′的值最小,此時CF′=1,解直角三角形求出EF′,CE′即可.

分兩種情形分別畫出圖象求解即可.

如圖5中,設(shè)△CEF′的外接圓的圓心為I,連接IE′,CI,IF′,設(shè)直線FF′交ACH,在CB上取一點J,使得CHCJ,連接JHIJ.證明△HCF′≌△JCISAS),推出JIHF′,即可解決問題.

解:(1)如圖1中,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠B60°,

BDBE,

∴△BDE是等邊三角形,

∴∠BED60°.

2如圖2中,

如圖正方形DEFG平移過程中,FF′∥BC,易證四邊形EFFE′是平行四邊形,

由題意,當(dāng)CF′⊥BC時,CF′的值最小,此時CF′=1,

RtCEF′中,∵∠ECF′=90°,∠FEC30°,CF′=1,

EFEF′=2CE′=,

tEE′=,

EE′=CE′=

BEDEEF2,

BCBE+EE+CE′=2+2

如圖3中,當(dāng)ED′=EF′=CE′=2時,△CEF與△CDE同時為等腰三角形,此時tEE′=BCBECE′=2+2422

如圖4中,當(dāng)ECED′=EF′=2時,△CEF與△CDE同時為等腰三角形,此時tEE′=BC+CE′﹣BEBC2+2

綜上所述,t222+2時,△CEF與△CDE同時為等腰三角形.

如圖5中,設(shè)△CEF′的外接圓的圓心為I,連接IE′,CI,IF′,設(shè)直線FF′交ACH,在CB上取一點J,使得CHCJ,連接JH,IJ

IE′=IF′=IC

∴∠FECFIC,

∵∠FEC30°,

∴∠CJF′=60°,

∴△CIF′是等邊三角形,

CHCJ,∠HCJ60°,

∴△HCJ是等邊三角形,

CHCJ,CF′=CI,∠HCJ=∠FCI60°,

∴∠HCF′=∠JCI,

∴△HCF′≌△JCISAS),

FHIJ,∠CHF′=∠CJI120°,

∴點I的運(yùn)動軌跡是線段,且JIHF′,

可知FH,

∴△CEF外接圓圓心的運(yùn)動路徑的長度為

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