Question

數(shù)學(xué)課上，老師出示了如下框中的題目，

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：
（1 ）特殊情況探索結(jié)論當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1 ，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE(    )DB （填“＞”，“＜”或“=”）．
（2 ）特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE(    )DB （填“＞”，“＜“=”），理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F。（請你完成以下解答過程）
（3 ）拓展結(jié)論，設(shè)計新題
在等邊三角形ABC中，點E 在直線AB上，點D 在直線BC上，且ED=EC，若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長。（請你直接寫出結(jié)果）

Answer 1

解：（1）答案為：=； （2）答案為：=， 證明：在等邊△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， AB=BC=AC， ∵EF?BC， ∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB， ∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°， ∴AE=AF=EF， ∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF， ∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°， ∵ED=EC， ∴∠EDB=∠ECB， ∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE， ∴∠BED=∠FCE， 在△DBE和△EFC中， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB=EF， ∴AE=BD； （3）解：分為四種情況：如圖： ∵AB=AC=1，AE=2， ∴B是AE的中點，△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根據(jù)直角三角斜邊的中線等于斜邊的一半）， ∴∠ACE=90°，∠AEC=30°， ∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°， 即△DEB是直角三角形， ∴BD=2BE=2（30°所對的直角邊等于斜邊的一半）， 即CD=1+2=3．如圖2， 過A作AN?BC于N，過E作EM?CD于M， ∵等邊三角形ABC，EC=ED， ∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN?EM， ∴△BAN?△BEM， ∴=， ∵△ABC邊長是1，AE=2， ∴=， ∴MN=1， ∴CM=MN﹣CN=1﹣=， ∴CD=2CM=1；如圖3， ∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°）， 而∠EDC不能等于120°，否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理， ∴此時不存在EC=ED；如圖4 ∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB， 又∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ECD＞∠EDC，即此時ED≠EC， ∴此時情況不存在，答：CD的長是3或1．