Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸正半軸上，OA=4

3

，以O(shè)A為直徑作⊙M，點C在⊙M上，且∠AOC=45°，四邊形ABCD為平行四邊形．
（1）求證：BC為⊙M的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,平行四邊形的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接CM，求出∠OCM=∠COA=45°，求出∠CMA=90°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出∠BCM=∠CMA即可；
（2）首先求出平行四邊形的面積，則陰影部分的面積為平行四邊形的面積-△CMO和扇形CMA的面積．

解答：（1）證明：
連接CM，
∵OM=CM，∠AOC=45°，
∴∠AOC=∠OCM=45°，
∴∠CMA=45°+45°=90°，
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴BC∥OA，
∴∠BCM=180°-90°=90°，
∴MC⊥BC，
∵MC是半徑，
∴BC是⊙M的切線；
（2）∵OA=4

3

，
∴CM=2

3

，
∴S_{四邊形ABCD}=OA•CM=4

3

×2

3

=24，
∵S_△COM=

1

2

×CM•OM=6，S_扇形CMA=

1

4

×π×12=3π，
∴圖中陰影部分的面積=24-6-3π=18-3π．

點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，扇形的面積公式等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力，題目比較典型，綜合性比較強．