Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC邊以3cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿BC邊以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，△PCQ關(guān)于直線=PQ的對(duì)稱的圖形是△PDQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t=

 

，四邊形PCQD是正方形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQBA是梯形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，使得PD∥AB？
（4）是否存在時(shí)刻t，使得PD⊥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)四邊形PCQD是正方形時(shí)，∠PQC=45°，判斷出PC=CQ，列出關(guān)于t的方程解答．
（2）要使四邊形PQBA是梯形，則必有PQ∥AB，可得△CPQ∽△CAB，列出關(guān)于t的等式解答即可．
（3）延長PD交CB于點(diǎn)E，要使PD∥AB，則必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出等式解答即可．
（4）延長PD交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t．根據(jù)△APF∽△ACB，△QBG∽△ACB，列出關(guān)系式解答．

解答：解：（1）當(dāng)四邊形PCQD是正方形時(shí)，∠PQC=45°，
此時(shí)，PC=CQ，
即12-3t=4t，
解得t=

12

7

；
故答案為

12

7

．
（2）如圖1：當(dāng)t=2時(shí)，四邊形PQBA是梯形．
理由如下：A要使四邊形PQBA是梯形，則必有PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∵PC=12-3t，CQ=4t，
∴

12-3t

12

=

4t

16

，
解得t=2．
（3）如圖2，當(dāng)t=

12

11

時(shí)，使得PD∥AB．
理由如下：延長PD交CB于點(diǎn)E，要使PD∥AB，則必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，
∴

PE

AB

=

PC

AC

=

CE

CB

，
∴

PE

20

=

12-3t

12

=

CE

16

，
∴PE=20-5t，CE=16-4t，
∴DE=8-2t，
∵△QDE∽△ACB，
∴

QD

AC

=

DE

CB

，
∴

4t

12

=

8-2t

16

，
∴t=

12

11

．
（4）延長PD交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t．要使PD⊥AB，則必有PF⊥AB，
∴△APF∽△ACB，△QBG∽△ACB，
∴

PF

3t

=

4

5

，
∴PF=

12

5

t，
∴DF=

27

5

t-12，
∵

16-4t

27t 5 -12

=

5

3

，
∴t=

36

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似性綜合題，涉及正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，有一定難度．