【題目】△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α(0°<α≤90°),點F,G,P分別是DE,BC,CD的中點,連接PF,PG.
(1)如圖①,α=90°,點D在AB上,則∠FPG= °;
(2)如圖②,α=60°,點D不在AB上,判斷∠FPG的度數(shù),并證明你的結(jié)論;
(3)連接FG,若AB=5,AD=2,固定△ABC,將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn),當PF的長最大時,FG的長為 (用含α的式子表示).
【答案】(1)90°;(2)120°,證明見解析;(3).
【解析】
(1)由AB=AC、AD=AE,得BD=CE,再根據(jù)G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,可得出PG∥BD,PF∥CE.則∠GPF=180°﹣∠α=90°;
(2)連接BD,連接CE,由已知可證明△ABD≌△ACE,則∠ABD=∠ACE.因為G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,則PG∥BD,PF∥CE.進而得出∠GPF=180°﹣∠α=120°;
(3)當D在BA的延長線上時,CE=BD最長,此時BD=AB+AD=5+2=7,再由三角形中位線定理即可算出PG=3.5,在Rt△GPH中,由三角函數(shù)的定義即可求出GH,進一步求出FG.
解:(1)∵AB=AC、AD=AE,∴BD=CE,
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,
∴PG∥BD,PF∥CE.∴∠ADC=∠DPG,∠DPF=∠ACD,
∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=90°,
即∠GPF=90°;
故答案為:90;
(2)∠FPG=120°;
理由:連接BD,連接CE.
∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,
∴PG∥BD,PF∥CE.∴∠PGC=∠CBD,
∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD,
∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD,
∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°﹣∠BAC=180°﹣∠α=120°,即∠GPF==120°;
(3)連結(jié)BD,CE,過P作PH⊥FG于H,
由(2)可知,△ABD≌△ACE,∴BD=CE,且PG=PF=BD,當D在BA的延長線上時,CE最長,即BD最長,此時BD=AB+AD=5+2=7,
∴PG=3.5,∵PF=PG,PH⊥FG,
∴∠GPH=∠FPG=(180°﹣∠α)=90°﹣α,FG=2HG,
∴FG=2HG=2PGsin∠GPH=2×3.5×=.
故答案為:.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點,點為軸正半軸上一點,且,的面積是,則_______.
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【題目】如圖1,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形 ABE.點F是對角線BD上一動點(點F不與點B重合),將線段AF繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM,連接FM.
(1)求AO的長;
(2)如圖2,當點F在線段BO上,且點M,F(xiàn),C三點在同一條直線上時,求證:AC=AM;
(3)連接EM,若△AEM的面積為40,請直接寫出△AFM的周長.
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【題目】已知,如圖,在筆山銀子巖坡頂處的同一水平面上有一座移動信號發(fā)射塔,
筆山職中數(shù)學興趣小組的同學在斜坡底處測得該塔的塔頂的仰角為,然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了米,在坡頂處又測得該塔的塔頂的仰角為.求:
坡頂到地面的距離;
移動信號發(fā)射塔的高度(結(jié)果精確到米).
(參考數(shù)據(jù):,,)
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l1:y=k1x+b過A(0,﹣3),B(5,2),直線l2:y=k2x+2.
(1)求直線l1的表達式;
(2)當x≥4時,不等式k1x+b>k2x+2恒成立,請寫出一個滿足題意的k2的值.
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【題目】為倡導(dǎo)“綠色出行,低碳生活”的號召,今年春天,安慶市的街頭出現(xiàn)了一道道綠色的風景線--“共享單車”. 圖(1)所示的是一輛共享單車的實物圖. 圖(2)是這輛共享單車的部分幾何示意圖,其中車架檔AC長為40cm,座桿CE的長為18cm. 點A、C、E在同一條直線上,且∠CAB=60°,∠ACB=75°
(1)求車座點E到車架檔AB的距離;
(2)求車架檔AB的長.
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【題目】如圖,矩形中,為的中點,將沿翻折得到,延長交于G,,垂足為H,連接,.以下結(jié)論:①;②;③;④;其中正確的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
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【題目】某市為了創(chuàng)建綠色生態(tài)城市,在城東建了“東州湖”景區(qū),小明和小亮想測量“東州湖”東西兩端A、B間的距離.于是,他們?nèi)チ撕叄鐖D,在湖的南岸的水平地面上,選取了可直接到達點B的一點C,并測得BC=350米,點A位于點C的北偏西73°方向,點B位于點C的北偏東45°方向.請你根據(jù)以上提供的信息,計算“東州湖”東西兩端之間AB的長.(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):sin73°≈0.9563,cos73≈0.2924,tan73°≈3.2709,≈1.414.)
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