Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的切線AP交CD的延長線于點(diǎn)P．
（1）求證：AP=

2

AB；
（2）若PE切⊙O于點(diǎn)E，求sin∠ABE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)AC，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ADC=90°，∠CAD=45°，AB=AD，則根據(jù)圓周角定理得到AC為⊙O的直徑，再根據(jù)切線的性質(zhì)由PA為⊙O的切線得OA⊥PA，則∠PAD=45°，可判斷△PAD為等腰直角三角形，所以PA=

2

AD，于是有PA=

2

AB；
（2）連結(jié)OP、OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥PE，則∠OEP=90°，再證明Rt△OAP≌Rt△OEP，得到∠AOP=∠EOP，根據(jù)圓周角定理得∠ABE=

1

2

∠AOE，所以∠ABE=∠AOP，由于AC=

2

AB，則OA=

2

2

AB，在Rt△OAP中，利用勾股定理得到OP=

10

2

AB，然后利用正弦的定義得到sin∠AOP=

AP

OP

=

2 5

5

，所以sin∠ABE=

2 5

5

．

解答：（1）證明：連結(jié)AC，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ADC=90°，∠CAD=45°，AB=AD，
∴AC為⊙O的直徑，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠PAD=45°，
∴△PAD為等腰直角三角形，
∴PA=

2

AD，
∴PA=

2

AB；
（2）解：連結(jié)OP、OE，如圖，
∵PE為⊙O的切線，
∴OE⊥PE，
∴∠OEP=90°，
在Rt△OAP和Rt△OEP中

OA=OE OP=OP

，
∴Rt△OAP≌Rt△OEP，
∴∠AOP=∠EOP，
∵∠ABE=

1

2

∠AOE，
∴∠ABE=∠AOP，
∵AC=

2

AB，
∴OA=

2

2

AB，
在Rt△OAP中，PA=

2

AB，OA=

2

2

AB，
∴OP=

OA2+PA2

=

10

2

AB，
∴sin∠AOP=

AP

OP

=

2 AB

10 2 AB

=

2 5

5

，
∴sin∠ABE=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)．