Question

如圖，已知x=1是方程的ax²+bx+c=0（a≠0）一個根，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，交y軸于C（0，

7

3

）點，頂點為M，對稱軸x=4與x軸交于N點，P為對稱軸上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)以P點為圓心，OM長為半徑的圓經(jīng)過C點時，請用尺規(guī)先確定P點的位置，再求⊙P與y軸的另一個交點Q的坐標；
（3）探究：是否存在同時與直線OM和x軸都相切的⊙P？若存在，請求出⊙P的半徑及圓心坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把x=1代入方程可得到關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，再把C點的坐標代入拋物線解析式和拋物線的對稱軸為x=4也可得到關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，由此可求出a，b，c的值，進而求出拋物線的解析式；
（2）易求M點的坐標，所以O(shè)M的長可求出，用圓規(guī)量取OM距離，以C為圓心，OM為半徑畫圓，圓弧和MN的交點即為P點；
（3）存在同時與直線OM和x軸都相切的⊙P，首先求出直線OM的解析式，設(shè)P（4．，y），若圓和直線OM和x軸都相切則⊙p的半徑為y的絕對值，由此求出的值即可．

解答：解：（1）∵x=1是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一個根，
∴a+b+c=0，①
∵拋物線y=ax²+bx+c交y軸于C（0，

7

3

）點，
∴c=

7

3

，②
∵拋物線對稱軸x=4，
∴x=-

b

2a

=4，③
由①②③可得：a=

1

3

，b=-

8

3

，c=

7

3

，
∴拋物線的解析式：y=

1

3

x²-

8

3

x+

7

3

；
（2）用圓規(guī)量取OM距離，以C為圓心，OM為半徑畫圓，圓弧和MN的交點即為P點，
∵y=

1

3

x²-

8

3

x+

7

3

，
∴頂點M坐標（4，-3），
∴OM=PC=

32+42

=5，
設(shè)P（4．，y），則（4-0）²+（y-

7

3

）²=25，
解得：y=

16

3

或-

2

3

，
∴⊙P：（x-4）²+（y-

16

3

）²=25或（x-4）²+（y+

2

3

）²=25，
∴Q點的坐標為（0，

25

3

）或（0，-

11

3

）；
（3）存在同時與直線OM和x軸都相切的⊙P，
理由如下：設(shè)直線OM的解析式為y=kx，
∵M點的坐標為（4，-3），
∴y=-

3

4

x，
設(shè)P（4．，y），若圓和直線OM和x軸都相切則軸相切則⊙p的半徑為y的絕對值，
∴P到OM的距離d=|

12+4y

5

|=|y|，
解得y=-

4

3

或12，
∴⊙p半徑為

4

3

或12，
∴P的坐標為（4，-

4

3

）或（4，12）．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)函數(shù)解析式的確定、勾股定理的運用、圓與直線的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)等重點知識；在解題過程中要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理應(yīng)用．