Question

四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AC是直徑，BD是∠ABC的角平分線，AB+BC=6，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：由（AB+BC）²=36，結(jié)合勾股定理，且S_△ABC=

1

2

AB•BC，S_△ADC=

1

2

AC•OD=

1

4

AC²，再利用面積和可求得四邊形ABCD的面積．

解答：解：
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AO=OD=

1

2

AC，且OD⊥AC，
∴S_△ACD=

1

2

AC•OD=

1

4

AC²，
∵AB+BC=6，
∴（AB+BC）²=36，
即AB²+BC²+2AB•BC=36，
又AB²+BC²=AC²，
∴AC²+2AB•BC=36，
∴

1

4

AC²+

1

2

AB•BC=9，
即S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理及勾股定理的應(yīng)用，由條件利用AB+BC轉(zhuǎn)化成兩三角形的面積是解題的關(guān)鍵．