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【題目】已知關于x的方程x2﹣2(k﹣3)x+k2﹣4k﹣1=0的兩實數根之和不小于﹣6
(1)求k的取值范圍;
(2)若以方程x2﹣2(k﹣3)x+k2﹣4k﹣1=0的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數y= 的圖象上,求滿足條件的m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意得△=[﹣2(k﹣3)]2﹣4×(k2﹣4k﹣1)≥0

化簡得﹣2k+10≥0,解得k≤5,

∵關于x的方程x2﹣2(k﹣3)x+k2﹣4k﹣1=0的兩實數根之和不小于﹣6,

∴2(k﹣3)≥﹣6,

解得:k≥0,

即k的取值范圍是0≤k≤5


(2)解:設方程x2﹣2(k﹣3)x+k2﹣4k﹣1=0的兩個根為x1,x2,

根據題意得m=x1x2

又∵由一元二次方程根與系數的關系得x1x2=k2﹣4k﹣1,

那么m=k2﹣4k﹣1=(k﹣2)2﹣5,所以,當k=2時m取得最小值﹣5,

∵由(1)知:0≤k≤5,

∴當k=0時,m=(0﹣2)2﹣5=﹣1,當k=5時,m=(5﹣2)2﹣5=4,

∴m的取值范圍是﹣5≤m≤4,

∵反比例函數y= ,

∴m≠0,

綜合上述,m的取值范圍為﹣5≤m≤4且m≠0


【解析】(1)若一元二次方程有實數根,則根的判別式△=b2﹣4ac≥0,建立關于k的不等式,求出k的取值范圍.(2)寫出兩根之積,兩根之積等于m,進而求出m的最小值,再根據k的范圍即可求出答案.
【考點精析】本題主要考查了根與系數的關系的相關知識點,需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數;兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能正確解答此題.

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進價(元/件)

20

30

售價(元/件)

29

40

(1)新瑪特購物中心將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤?

(2)該購物中心第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品,其中甲種商品的件數不變,乙種商品的件數是第一次的3倍;甲商品按原價銷售,乙商品打折銷售,第二次兩種商品都銷售完以后獲得總利潤比第一次獲得的總利潤多160元,求第二次乙種商品是按原價打幾折銷售?

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根據題意,小明、小紅分別列出了尚不完整的方程如下:

小明:5x□(  )=4x□( 。 小紅:

(1)根據小明、小紅所列的方程,其中“□”中是運算符號,“( 。中是數字,請你分別指出未知數x、y表示的意義.

小明所列的方程中x表示   ,

小紅所列的方程中y表示   

(2)請選擇小明、小紅中任意一種方法,完整的解答該題目.

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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經過點B(14,0)和C(0,﹣8),對稱軸為x=4.

(1)求該拋物線的解析式;
(2)點D在線段AB上且AD=AC,若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動,同時另一動點N以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動,問是否存在某一時刻,使線段PN被直線CD垂直平分?若存在,請求出此時的時間t(秒)和點N的運動速度;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的結論下,直線x=1上是否存在點M使△MPN為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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(1)求拋物線的解析式;
(2)M為第一象限內的拋物線上的一個點,過點M作MG⊥x軸于點G,交AC于點H,當線段CM=CH時,求點M的坐標;
(3)在(2)的條件下,將線段MG繞點G順時針旋轉一個角α(0°<α<90°),在旋轉過程中,設線段MG與拋物線交于點N,在線段GA上是否存在點P,使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似?如果存在,請求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.

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