【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+ x+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x= .
(1)求拋物線的解析式;
(2)M為第一象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)H,當(dāng)線段CM=CH時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,將線段MG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α(0°<α<90°),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,設(shè)線段MG與拋物線交于點(diǎn)N,在線段GA上是否存在點(diǎn)P,使得以P、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵x=﹣ = ,b= ,
∴a=﹣ ,
把A(4,0),a=﹣ 代入y=ax2+ x+c,
可得( )×42+ ×4+c=0,
解得c=2,
則拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2
(2)
解:如圖1,連接CM,過(guò)C點(diǎn)作CE⊥MH于點(diǎn)E,
,
∵y=﹣ x2+ x+2,
∴當(dāng)x=0時(shí),y=2,
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,2),
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b(k≠0),
把A(4,0)、C(0,2)代入y=kx+b,
可得 ,
解得: ,
∴直線AC解析式為y=﹣ x+2,
∵點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)H在AC上,MG⊥x軸,
∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,﹣ m2+ m+2),H(m,﹣ m+2),
∴MH=﹣ m2+ m+2﹣(﹣ m+2)=﹣ m2+2m,
∵CM=CH,OC=GE=2,
∴MH=2EH=2×[2﹣(﹣ m+2)]=m,
又∵M(jìn)H=﹣ m2+2m,
∴﹣ m2+2m=m,
即m(m﹣2)=0,
解得m=2或m=0(不符合題意,舍去),
∴m=2,
當(dāng)m=2時(shí),
y=﹣ ×22+ ×2+2=3,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3)
(3)
解:存在點(diǎn)P,使以P,N,G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,理由為:
∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),A(4,0),A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x= 成軸對(duì)稱(chēng),
∴B(﹣1,0),
∵AC= =2 ,BC= = ,AB=5,
∴AC2+BC2= + =25,AB2=52=25,
∵AC2+BC2=AB2=25,
∴△ABC為直角三角形,
∴∠ACB=90°,
線段MG繞G點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,與拋物線交于點(diǎn)N,當(dāng)NP⊥x軸時(shí),∠NPG=90°,
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(n,0),
則N點(diǎn)坐標(biāo)為(n,﹣ n2+ n+2),
①如圖2,
當(dāng) = 時(shí),
∵∠N1P1G=∠ACB=90°,
∴△N1P1G∽△ACB,
∴ = ,
解得:n1=3,n2=﹣4(不符合題意,舍去),
∴P的坐標(biāo)為(3,0).
②當(dāng) = 時(shí),
∵∠N2P2G=∠BCA=90°,
∴△N2P2G∽△BCA,
∴ ,
解得:n1=1 ,n2=1﹣ (不符合題意,舍去),
∴P的坐標(biāo)為(1+ ,0).
∴存在點(diǎn)P(3,0)或(1 ,0),使以P,N,G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
【解析】(1)首先利用對(duì)稱(chēng)軸公式求出a的值,然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的值代入拋物線的解析式,求出c的值,即可確定出拋物線的解析式.(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定出點(diǎn)C的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法,確定出直線AC解析式為y=﹣ x+2;然后設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,﹣ m2+ m+2),H(m,﹣ m+2),求出MH的值是多少,再根據(jù)CM=CH,OC=GE=2,可得MH=2EH,據(jù)此求出m的值是多少,再把m的值代入拋物線的解析式,求出y的值,即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)首先判斷出△ABC為直角三角形,然后分兩種情況:①當(dāng) = 時(shí);②當(dāng) = 時(shí);根據(jù)相似三角形的性質(zhì),判斷出是否存在點(diǎn)P,使得以P、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似即可.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年3月,我市某中學(xué)舉行了“愛(ài)我中國(guó)朗誦比賽”活動(dòng),根據(jù)學(xué)生的成績(jī)劃分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí),并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)參加朗誦比賽的學(xué)生共有人,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m= , n=;C等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形有圓心角為度;
(3)學(xué)校欲從獲A等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,參加市舉辦的朗誦比賽,請(qǐng)利用列表法或樹(shù)形圖法,求獲A等級(jí)的小明參加市朗誦比賽的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣2(k﹣3)x+k2﹣4k﹣1=0的兩實(shí)數(shù)根之和不小于﹣6
(1)求k的取值范圍;
(2)若以方程x2﹣2(k﹣3)x+k2﹣4k﹣1=0的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)y= 的圖象上,求滿(mǎn)足條件的m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)C,D在線段AB上,M、N分別是AC、BD的中點(diǎn),若AB=20,CD=4,
(1)求MN的長(zhǎng).
(2)若AB=a,CD=b,請(qǐng)用含有a、b的代數(shù)式表示出MN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,下列敘述結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. BD平分∠ABC B. △BCD的周長(zhǎng)等于AB+BC
C. 點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn) D. AD=BD=BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,過(guò)A點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于點(diǎn)B.
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)判斷點(diǎn)C(4,-2)是否在該一次函數(shù)的圖象上,說(shuō)明理由;
(3)若該一次函數(shù)的圖象與x軸交于D點(diǎn),求△BOD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
小明想探究函數(shù)的性質(zhì),他借助計(jì)算器求出了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值,并在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了函數(shù)圖象:
x | … | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | 2.83 | 1.73 | 0 | 0 | 1.73 | 2.83 | … |
小聰看了一眼就說(shuō):“你畫(huà)的圖象肯定是錯(cuò)誤的.”
請(qǐng)回答:小聰判斷的理由是_____________.請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)的一條性質(zhì):_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校七年級(jí)(1)班班主任對(duì)本班學(xué)生進(jìn)行了“我最喜歡的課外活動(dòng)”的調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為書(shū)法和繪畫(huà)類(lèi)(記為A)、音樂(lè)類(lèi)(記為B)、球類(lèi)(記為C)、其它類(lèi)(記為D).根據(jù)調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)該班每個(gè)學(xué)生都進(jìn)行了登記且每人只登記了一種自己最喜歡的課外活動(dòng).班主任根據(jù)調(diào)查情況把學(xué)生進(jìn)行了歸類(lèi),并制作了如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題:
(1)七年級(jí)(1)班學(xué)生總?cè)藬?shù)為人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中D類(lèi)所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為度,請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)學(xué)校將舉行書(shū)法和繪畫(huà)比賽,每班需派兩名學(xué)生參加,A類(lèi)4名學(xué)生中有兩名學(xué)生擅長(zhǎng)書(shū)法,另兩名學(xué)生擅長(zhǎng)繪畫(huà).班主任現(xiàn)從A類(lèi)4名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生參加比賽,請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出抽到的兩名學(xué)生恰好是一名擅長(zhǎng)書(shū)法,另一名擅長(zhǎng)繪畫(huà)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn),∠COD是直角,OE平分∠BOC.
(1)如圖(1),若∠AOC=,求∠DOE的度數(shù);
(2)如圖(2),將∠COD繞頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),且保持射線OC在直線AB上方,在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)∠AOC的度數(shù)是多少時(shí),∠COE=2∠DOB.
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