Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，0）、（3，-1），二次函數(shù)y=-x²的圖象為C₁．
（1）向上平移拋物線C₁，使平移后的拋物線C₂經(jīng)過點(diǎn)A，求拋物線C₂的表達(dá)式；
（2）平移拋物線C₁，使平移后的拋物線C₃經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，拋物線C₃與y軸交于點(diǎn)D，求拋物線C₃的表達(dá)式以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，記OD中點(diǎn)為E，點(diǎn)P為拋物線C₃對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△ABP與△ADE相似時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）根據(jù)條件可設(shè)拋物線C₂的解析式為y=-x²+c，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=-x²+c，就可解決問題；
（2）根據(jù)條件可設(shè)拋物線C₃的解析式為y=-x²+mx+n，然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=-x²+mx+n，就可求出拋物線C₃的解析式，然后令x=0就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，可求得∠HAB=45°，AB=

2

．結(jié)合條件易求得∠DEA=135°，

DE

AE

=

1

2

．若點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方，則∠BAP=45°，由△ABP與△ADE相似可得∠ABP或∠APB為135°，與三角形內(nèi)角和矛盾，該情況不存在，因而點(diǎn)P必在點(diǎn)A的上方．然后只需分兩種情況討論，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線C₂的解析式為y=-x²+c，
∵拋物線C₂經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），
∴-4+c=0，
∴c=4，
∴拋物線C₂的解析式為y=-x²+4；

（2）設(shè)拋物線C₃的解析式為y=-x²+mx+n，
∵拋物線C₃經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）、B（3，-1），
∴

-4+2m+n=0 -9+3m+n=-1

，
解得：

m=4 n=-4

，
∴拋物線C₃的解析式為y=-x²+4x-4．
當(dāng)x=0時，y=-4，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-4）；

（3）過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，則有AH=BH=1，
∴∠HAB=∠HBA=45°，AB=

2

．
∵D的坐標(biāo)為（0，-4），
∴OD=4．
∵點(diǎn)E為OD中點(diǎn)，
∴OE=DE=2．
在Rt△AOE中，
∵∠AOE=90°，OA=OE=2，
∴AE=2

2

，∠OEA=∠OAE=45°，
∴∠DEA=135°，

DE

AE

=

2

2 2

=

1

2

．
若點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方，則∠BAP=45°，
由△ABP與△ADE相似可得∠ABP或∠APB為135°，
與三角形內(nèi)角和矛盾，該情況不存在．
∴點(diǎn)P必在點(diǎn)A的上方．
①若△ABP∽△EAD，如圖1，

則

AP

AB

=

ED

EA

=

1

2

，
∴AP=

1

2

×

2

=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）；
②若△ABP∽△EDA，如圖2，

則

AB

AP

=

ED

EA

=

1

2

，
∴AP=

2

AB=

2

×

2

=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，運(yùn)用反證法及分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．