Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2．
（1）求q關(guān)于p的關(guān)系式；
（2）若p=2q，求方程的另一根；
（3）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為2，
∴4+2p+q+1=0，即q=-2p-5；

（2）設(shè)一元二次方程x²+px+q+1=0的一根為t，
則由韋達(dá)定理，得
，
解得，，
所以，原方程的另一根為0；

（3）證明：令x²+px+q=0．則△=p²-4q=p²-4（-2p-5）=（p+4）²+4＞0，即△＞0，
所以，關(guān)于x的方程x²+px+q=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．即拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=2代入已知方程即可求得q關(guān)于p的關(guān)系式；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求方程的另一根；
（3）由關(guān)于x的方程x²+px+q=0的根的判別式的符號(hào)來(lái)證明拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的解的定義、根的判別式以及拋物線與x軸的交點(diǎn)．注意拋物線y=x²+px+q與方程x²+px+q=0的聯(lián)系．