Question

如圖所示，李華同學(xué)在在直角坐標(biāo)系中畫了反比例函數(shù)y=

18

x

（x＞0）的圖象，然后在雙曲線上任取一點A，過A作AC⊥y軸，垂足為點C，作AC的垂直平分線交雙曲線于點B，交x軸于點D，連接AB、BC、CD、DA，然后不斷改變點A的位置．
（1）在點A的移動過程中，李華發(fā)現(xiàn)，無論A點在雙曲線的什么位置，四邊形ABCD的面積都不變，你知道這個面積是多少嗎？請說明理由；
（2）經(jīng)過反復(fù)探索，他認(rèn)為四邊形ABCD始終是菱形，他的猜想正確嗎？如果正確請給出證明，如果不正確，說明理由；
（3）在點A移動的過程中，四邊形ABCD是否可以為正方形？如果可以，寫出此時點A的坐標(biāo)；如果不可以，簡要說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)A（a，

18

a

），可求出B（

a

2

，

36

a

），由于對角線垂直，計算對角線長積的一半即可；
（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，判斷出對角線互相垂直平分即可；
（3）令對角線長度相等，即可計算出A點坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)A（a，

18

a

），則B（

a

2

，

36

a

），
∵AC⊥BD，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD=

1

2

×a×

36

a

=18；
（2）∵DE=

18

a

，DB=

36

a

，
∴BD=DE，
又AE=CE，BD⊥AC，
∴四邊形ABCD始終是菱形．
（3）由（2）可知，四邊形ABCD始終是菱形，
當(dāng)AC=BD時，四邊形ABCD是正方形，
此時，a=

36

a

，
即a²=36，
解得a=6或a=-6（舍去），
此時A（6，3）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及點的坐標(biāo)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定等，綜合性強，是一道好題．