Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB＝8，點C在半徑OA上（點C與點O、A不重合），過點C作AB的垂線交⊙O于點D，連結(jié)OD，過點B作OD的平行線交⊙O于點E、交射線CD于點F．

（1）若ED＝BE，求∠F的度數(shù)：

（2）設線段OC＝a，求線段BE和EF的長（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）設點C關于直線OD的對稱點為P，若△PBE為等腰三角形，求OC的長．

Answer 1

（1）30°；（2）EF=；（3）CO的長為或時，△PEB為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）利用圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理得出即可；

（2）首先證明△HBO≌△COD（AAS），進而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的長；

（3）分別利用①當PB=PE，不合題意舍去；②當BE=EP，③當BE=BP，求出即可．

試題解析：（1）如圖1，連接EO，

∵

∴∠BOE=∠EOD，

∵DO∥BF，

∴∠DOE=∠BEO，

∵BO=EO，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，

∵CF⊥AB，

∴∠FCB=90°，

∴∠F=30°；

（2）如圖1，作HO⊥BE，垂足為H，

∵在△HBO和△COD中

，

∴△HBO≌△COD（AAS），

∴CO=BH=a，

∴BE=2a，

∵DO∥BF，

∴△COD∽△CBF，

∴

∴，

∴EF=；

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，

∴∠COD=∠DOE，

∴C關于直線OD的對稱點為P在線段OE上，

若△PEB為等腰三角形，設CO=x，∴OP=OC=x，則PE=EO-OP=4-x，

由（2）得：BE=2x，

①當PB=PE，不合題意舍去；

②當BE=EP，2x=4-x，解得：x=，

③當BE=BP，作BM⊥EO，垂足為M，

∴EM=PE=，

∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，

∴△BEM∽△DOC，

∴，

∴，

整理得：x2+x-4=0，

解得：x=（負數(shù)舍去），

綜上所述：當CO的長為或時，△PEB為等腰三角形．

考點：圓的綜合題．