Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，BF是AC邊上中線，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當(dāng)△AEF周長最小時(shí)，∠CFE的大小是（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：首先證明點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE=30°），

因?yàn)?/span>AF為定值，所以當(dāng)AE+EF最小時(shí)，△AEF的周長最小，

作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接FM交CE 于E′，此時(shí)AE′+FE′的值最小，

根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可求出∠CFE的大小．

詳解：∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AF=CF，

∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，

∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE=30°），

作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)M，連接FM交CE 于E′，此時(shí)AE′+FE′的值最小，

∵CA=CM，∠ACM=60°，

∴△ACM是等邊三角形，

∵AF=CF，

∴FM⊥AC，

∴∠CFE′=90°，

故選：D．