【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D是AC上一點,AE⊥BD,交BD的延長線于E,CF⊥BD于F.
(1)求證:CF=BE;
(2)若BD=2AE,求證:∠EAD=∠ABE.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】(1)根據(jù)已知條件證明△ABE≌△BCF即可求證CF=BE.
(2)由(1)可知:∠ABE=∠BCF,且AE∥CF所以∠EAD=∠ACF,只需證明∠ABE=∠BCF=∠ACF即可證明出∠EAD=∠ABE.
證明:(1)∵∠ABC=90°,CF⊥BD,AE⊥BD,
∴∠ABE+∠EBC=90°=∠EBC+∠BCF,
∴∠ABE=∠BCF.
又∵∠AEB=∠BFC=90°,AB=CB,
∴△ABE≌△BCF,
∴CF=BE.
(2)由(1)知△ABE≌△BCF,
∴BF=AE,∠ABE=∠BCF.又∵BD=BF+FD=2AE,
∴BF=DF.
又∵CF⊥BD于F,∴CB=CD,
∴CF平分∠ACB.
又∵∠AEB=∠CFD=90°,
∴AE∥CF,∴∠EAD=∠ACF.
∵∠ABE=∠BCF=∠ACF,
∴∠EAD=∠ABE.
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【題目】如圖(1)所示,∠AOB、∠COD都是直角.
(1)試猜想∠AOD與∠COB在數(shù)量上是相等,互余,還是互補的關(guān)系.請你用推理的方法說明你的猜想是合理的.
(2)當∠COD繞著點O旋轉(zhuǎn)到圖(2)所示位置時,你在(1)中的猜想還成立嗎?請你證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是矩形,cot∠ADB= ,AB=16.點E在射線BC上,點F在線段BD上,且∠DEF=∠ADB.
(1)求線段BD的長;
(2)設(shè)BE=x,△DEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)定義域;
(3)當△DEF為等腰三角形時,求線段BE的長.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,連接BD,點O是BD的中點,若M、N是邊AD上的兩點,連接MO、NO,并分別延長交邊BC于兩點M′、N′,則圖中的全等三角形共有( 。
A. 2對 B. 3對 C. 4對 D. 5對
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【題目】如圖,等邊△ABC中,BF是AC邊上中線,點D在BF上,連接AD,在AD的右側(cè)作等邊△ADE,連接EF,當△AEF周長最小時,∠CFE的大小是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
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【題目】某地下車庫出口處安裝了“兩段式欄桿”,如圖1所示,點A是欄桿轉(zhuǎn)動的支點,點E是欄桿兩段的聯(lián)結(jié)點.當車輛經(jīng)過時,欄桿AEF最多只能升起到如圖2所示的位置,其示意圖如圖3所示(欄桿寬度忽略不計),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,那么適合該地下車庫的車輛限高標志牌為( )(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
A. B. C. D.
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【題目】如圖,將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊,使點A落在平面上的F點處,DF交BC于點E.
(1)求證:△DCE≌△BFE;
(2)若CD=2,∠ADB=30°,求BE的長.
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【題目】(教材回顧)課本88頁,有這樣一段文字:人們通過長期觀察發(fā)現(xiàn)如果早晨天空中棉絮的高積云,那么午后常有雷雨降臨,于是有了“朝有破絮云,午后雷雨臨”的諺語.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,我們經(jīng)常用這樣的方法探究規(guī)律.
(數(shù)學(xué)問題)三角形有3個頂點,如果在它的內(nèi)部再畫n個點,并以這(n+3)個點為頂點畫三角形,那么最多可以剪得多少個這樣的三角形?
(問題探究)為了解決這個問題,我們可以從n=1,n=2,n=3等具體的、簡單的情形入手,探索最多可以剪得的三角形個數(shù)的變化規(guī)律.
三角形內(nèi)點的個數(shù) | 圖形 | 最多剪出的小三角形個數(shù) |
1 | 3 | |
2 | 5 | |
3 | 7 | |
… | … | … |
(問題解決)
(1) 當三角形內(nèi)有4個點時,最多剪得的三角形個數(shù)為______________;
(2) 你發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律是:三角形內(nèi)的點每增加1個,最多剪得的三角形增加______個;
(3) 猜想:當三角形內(nèi)點的個數(shù)為n時,最多可以剪得_______________個三角形;
像這樣通過對簡單情形的觀察、分析,從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納.
(問題拓展)
(4)請你嘗試用歸納的方法探索1+3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)的和是多少?
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【題目】如圖,一艘海警船在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°方向相距12海里的B處有一艘可疑貨船,該艘貨船以每小時10海里的速度向正東航行,海警船立即以每小時14海里的速度追趕,到C處相遇,求海警船用多長時間追上了貨船?
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