Question

如圖，已知頂點(diǎn)為P的拋物線y=ax²-x+c經(jīng)過點(diǎn)Q（-2，

3

2

），其對稱軸為直線x=-1，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)PB與y軸交于C點(diǎn)，求線段AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由對稱軸可求出a的值，再把Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出c的值即可求出拋物線的解析式，
（2）令y=0，求出方程x的兩個值即可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．
（3）先求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得出PB所在的直線的解析式，利用y=0，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理求出AC的長．

解答：解：（1）∵y=ax²-x+c，其對稱軸為直線x=-1，
∴-

-1

2a

=-1，解得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²-x+c，
∵拋物線y=-

1

2

x²-x+c經(jīng)過點(diǎn)Q（-2，

3

2

），
∴-2+2+c=

3

2

，解得c=

3

2

．
∴拋物線的解析式：y=-

1

2

x²-x+

3

2

，
（2）令y=0，得-

1

2

x²-x+

3

2

=0，解得x₁=1，x₂=-3．
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
（3）∵拋物線y=-

1

2

x²-x+

3

2

的頂點(diǎn)為P，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，2）．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)PB所在的直線的解析式為y=kx+b，
∴

2=-k+b 0=k+b

，解得

k=-1 b=1

，
∴PB所在的直線的解析式為y=-x+1，
∵PB與y軸交于C點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（（0，1），
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），
∴在RT△AOC中，AC=

AO2+CO2

=

32+12

=

10

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出PB所在的直線的解析式，利用解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．