Question

（本題滿分12分）已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連接AD.

（1）求證：∠DAC＝∠DBA；

（2）求證：P是線段AF的中點(diǎn)；

（3）連接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半徑和DE的長．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）2.5，2.4．

【解析】

試題分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)得出∠CBD=∠DBA，進(jìn)而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性質(zhì)得出∠DAC=∠ADE，進(jìn)而得出∠DAC=∠DBA；

（2）利用圓周角定理得出∠ADB=90°，進(jìn)而求出∠PDF=∠PFD，則PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案；

（3）利用勾股定理得出AB的長，再利用三角形面積求出DE即可．

試題解析：（1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，

∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，

∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；

（2）證明：∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，

∴PD=PA，

∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF，∴PA=PF，即P是線段AF的中點(diǎn)；

（3）【解析】
連接CD，

∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD，

∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，故⊙O的半徑為2.5，

∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4．即DE的長為2.4．

考點(diǎn)：圓的綜合題．