Question

如圖，在⊙O中，直徑AB交弦ED于點G，EG=DG，⊙O的切線BC交DO的延長線于點C，F(xiàn)是DC與⊙O的交點，連結(jié)AF．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若OD=1，CF=

1

4

，求AF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)垂徑定理和切線的性質(zhì)定理就可證得；
（2）連接BF，BD，根據(jù)切線長定理就可求得BC，進而根據(jù)三角形相似求得BD=

5

BF，然后根據(jù)勾股定理就可求得．

解答：解：（1）∵直徑AB交弦ED于點G，EG=DG，
∴AB⊥ED，
∵BC是⊙O的切線，
∴AB⊥BC，
∴DE∥BC；
（2）連接BF，BD，
∵OD=1，CF=

1

4

，
∴CD=OD+CF=

5

4

，
∵BC是⊙O的切線，
∴BC²=CF•CD=

1

4

×

5

4

=

5

16

，
∴BC=

5

4

，
∵∠CBF=∠CDB，∠BCF=∠DCB，
∴△CBF∽△CDB，
∴

BD

BF

=

CB

CF

=

5

1

，
∴BD=

5

BF，
∵AF=BD，
∴AF=

5

BF，
∵AB是直徑，
∴∠AFB=90°，
∴AF²+BF²=AB²，
∴AB=2OD=2，
∴AF²+（

5

AF）²=2²，
∴AF=

6

3

．

點評：本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)定理，直徑所對的圓周角的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形和相似三角形是本題的關(guān)鍵．