Question

在銳角△ABC中，外心、重心到邊AB的距離分別為4和3，則垂心到AB的距離為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心

專題：計(jì)算題

分析：從三角形重心的唯一性入手，主證HO與中線BE的交點(diǎn)與重心G重合，進(jìn)而得出垂心到AB的距離．

解答：解：設(shè)銳角△ABC的外心為O，H為垂心，
連接中位線DE（如圖）．則DE∥AB，
又∵AH∥OD，BH∥OE（BH、OE同垂直于AC）．
∴△DEO∽△ABH，
從而OE：HB=DE：AB=1：2．
連接OH交中線BE于G′．
∵BH∥OE，
∴△OEG′∽△HBG′．
因此，EG′：BG′=OE：HB=1：2．
這說(shuō)明G′點(diǎn)即為△ABC的重心G．
從而H、G、O三點(diǎn)共線，
∵外心、重心到邊AB的距離分別為4和3，
∴垂心到AB的距離為：4-3=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形外心以及重心和垂心的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)等知識(shí)，得出H、G、O三點(diǎn)共線是解題關(guān)鍵．