Question

我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，我們可以利用這些性質(zhì)解決問(wèn)題．
（1）①反比例函數(shù)y=

k

x

圖象有

 

條對(duì)稱軸，直線方程分別為

 

；反比例函數(shù)y=

k

x

圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為

 

；
②如果反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，b），那么它一定同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

 

；（用字母a，b表示，寫(xiě)出兩個(gè)即可）
（2）如圖1，直線y=nx與反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)B、D，已知點(diǎn)A（-m，0），C（m，0）
①判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論；
②當(dāng)點(diǎn)B為（p，1）時(shí)，四邊形ABCD是矩形，如圖2，試求p和m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①直接根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行解答即可；
②根據(jù)反比例函數(shù)的圖象既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一個(gè)中心對(duì)稱圖形解答；
（2）①根據(jù)反比例函數(shù)y=

3

x

是中心對(duì)稱圖形，且與正比例函數(shù)y=nx交與點(diǎn)B、D可知OB=OD，再根據(jù)A（-m，0），C（m，0）可知OA=OC，由此可得出結(jié)論；
②把點(diǎn)B（p，1）代入y=

3

x

即可求出p的值，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則OE=

3

，BE=1，在Rt△OBE中，由勾股定理求出OB的長(zhǎng)，四邊形ABCD是矩形，且C（m，0）可得出OB=OC，進(jìn)而得出m的值．

解答：解：（1）①反比例函數(shù)y=

k

x

圖象有2條對(duì)稱軸，直線方程分別為直線y=x，直線y=-x；反比例函數(shù)y=

k

x

圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為 （0，0），
故答案為：2，直線y=x，直線y=-x，（0，0）；

②∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，
∴如果反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，b），那么它一定同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-a，-b）或（b，a）或（-b，-a）．
故答案為：（-a，-b）或（b，a）或（-b，-a）；

（2）①四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵反比例函數(shù)y=

3

x

是中心對(duì)稱圖形，且與正比例函數(shù)y=nx交與點(diǎn)B、D，
∴OB=OD，
∵A（-m，0），C（m，0），
∴OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

②∵點(diǎn)B（p，1）在y=

3

x

的圖象上，
∴1=

3

p

，
∴p=

3

，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，則OE=

3

，BE=1，
在Rt△OBE中，由勾股定理得，OB=

( 3 )2+12

=2，
∵四邊形ABCD是矩形，且C（m，0），
∴OB=OC=2，
∴m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到平行四邊形的判定定理、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．