Question

如圖，平行四邊形ABCO在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（0，4），拋物線y=-x²+mx+n經過點A和C．

（1）求拋物線的解析式．
（2）該拋物線的對稱軸將平行四邊形ABCO分成兩部分，對稱軸左側部分的圖形面積記為S₁，右側部分圖形的面積記為S₂，求S₁與S₂的比．
（3）在y軸上取一點D，坐標是（0，

7

2

），將直線OC沿x軸平移到O′C′，點D關于直線O′C′的對稱點記為D′，當點D′正好在拋物線上時，求出此時點D′坐標并直接寫出直線O′C′的函數解析式．

Answer 1

考點：二次函數綜合題,待定系數法求一次函數解析式,待定系數法求二次函數解析式,平行四邊形的性質,銳角三角函數的定義

專題：綜合題

分析：（1）由條件可求出點C的坐標，然后用待定系數法就可求出拋物線的解析式．
（2）由拋物線的解析式可求出其對稱軸，就可求出S₂，從而求出S₁，就可求出S₁與S₂的比．
（3）由題可知DD′⊥O′C′，且DD′的中點在直線O′C′上．由OC∥O′C′可得DD′⊥OC．過點D作DM⊥CO，交x軸于點M，只需先求出直線DM的解析式，再求出直線DM與拋物線的交點，就得到點D′的坐標，然后求出DD′中點坐標就可求出對應的直線O′A′的解析式．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴BC=OA，BC∥OA．
∵A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（0，4），
∴點C的坐標為（2，4）．
∵拋物線y=-x²+mx+n經過點A和C．
∴

0=-4-2m+n 4=-4+2m+n

．
解得：

m=1 n=6

．
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+6．

（2）如圖1，
∵拋物線的解析式為y=-x²+x+6．
∴對稱軸x=-

b

2a

=

1

2

，
設OC所在直線的解析式為y=ax，
∵點C的坐標為（2，4），
∴2a=4，即a=2．
∴OC所在直線的解析式為y=2x．
當x=

1

2

時，y=1，則點F為（

1

2

，1）．
∴S₂=

1

2

EC•EF
=

1

2

×（2-

1

2

）×（4-1）=

9

4

．
∴S₁=S_{四邊形ABCO}-S₂=2×4-

9

4

=

23

4

．
∴S₁：S₂=

23

4

：

9

4

=23：9．
∴S₁與S₂的比為23：9．

（3）過點D作DM⊥CO，交x軸于點M，如圖2，
∵點C的坐標為（2，4），
∴tan∠BOC=

1

2

．
∵∠OMD=90°-∠MOC=∠BOC，
∴tan∠OMD=

OD

OM

=

1

2

．
∵點D的坐標是（0，

7

2

），
∴

7 2

OM

=

1

2

，即OM=7．
∴點M的坐標為（7，0）．
設直線DM的解析式為y=kx+b，
則有

0=7k+b 7 2 =b

，
解得：

k=- 1 2 b= 7 2

∴直線DM的解析式為y=-

1

2

x+

7

2

．
∵點D與點D′關于直線O′C′對稱，
∴DD′⊥O′C′，且DD′的中點在直線O′C′上．
∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC．
∴點D′是直線DM與拋物線的交點．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+ 7 2 y=-x2+x+6

解得：

x1=-1 y1=4

，

x2= 5 2 y2= 9 4

，
∴點D′的坐標為（-1，4）或（

5

2

，

9

4

）．
設直線O′C′的解析式為y=2x+c，
①當點D′的坐標為（-1，4）時，如圖3，
線段DD′的中點為（

0-1

2

，

7 2 +4

2

）即（-

1

2

，

15

4

），
則有2×（-

1

2

）+c=

15

4

，
解得：c=

19

4

．
此時直線O′C′的解析式為y=2x+

19

4

．
②當點D′的坐標為（

5

2

，

9

4

）時，如圖4，
同理可得：此時直線O′C′的解析式為y=2x+

3

8

．
綜上所述：當點D′的坐標為（-1，4）時，直線O′C′的解析式為y=2x+

19

4

；當點D′的坐標為（

5

2

，

9

4

）時，直線O′C′的解析式為y=2x+

3

8

．

點評：本題考查了用待定系數法求二次函數及一次函數的解析式、拋物線與直線的交點、平行四邊形的性質、三角函數的定義、中點坐標公式等知識，有一定的綜合性．